2011高考数学解答题专题训练之数列2011高考数学解答题专题训练 之数列 aaaS，,6,10S1、记等差数列的前n项和为，已知. n244na(?)求数列的通项公式; nn*bba,2T(N)n,(?)令，求数列的前n项和. nnnn解:(?)设等差数列的公差为d，由， aaS，,6,10a,244n246ad，,1ad，,23a,1,11可得 ，即， 解得， ,43，,d,1410ad，,235ad，,11,2an,?，故所求等差数列的通项公式为 aaandnn,，,，,11(1),，nnn1nnban,22(?)依题意， nn231nn,，,，,122232(1)22nnTbbb,，? nn122341nn，2T,122232(1)22，,，,nn， n2311nnn,，,，,Tn(22222)2? nn212,，n1,2n 12,n，1,(1)22n n，1Tn,，(1)22?. nSapnn,4an2、设数列的前n项和为，且，其中p是不为零的常数( Sn,an(1)证明:数列是等比数列; ,*1bbanNnnn，,，,()bnb1,2(2)当p=3时，若数列满足，求数列的通项公式( bn,，* ,(1)证:因为S=4a p(nN),则S= 4a p(nNn2),所以当n2时，,nnn 1 n 1 4aSSaa,44，整理得 aa,nnnnn,11nn,13pn,1aaa,4 由S=4a p，令，得，解得( a,nn1113p4 所以是首项为，公比为的等比数列( a,n334n,1(2)解:因为a=1，则， a,()1n34n,1babn,，,(1,2,) 由，得 ， bb,()nnn，1nn，13,当n2时，由累加得 b,b，(b,b)，(b,b)，？，(b,b) n12132nn,14n,1,1()4n,13 ,， ，,23()143,13当n = 1时，上式也成立( n,14, 因此数列的通项公式为 bnb,31,n3,*3、已知数列满足:aaa，,2，且aa,1,2，( anN,nnn，1212nbaa,(?)设，证明:数列是等比数列; b,nnn，1n(?)求的通项公式( a,naaa，,2解:(?)，即 nnn，121aaaaaaaa,22 ，nnnnnnnn，21121121baa,1即，又， bb,121nn，121故数列是首项为1，公比为的等比数列( b,n2n,11,(?)根据(?)知， b,n,2,n,2n,301111,aa,即; aaaa,aa,32,nn,1,nn,12,212222,n,1把上面个式子相加得: n,11,1,nn,23,1112, aa,，,，,，,1n1,1222,，12n,1521,即 a,n,332,Sna4、已知数列的各项均为正数，前项和为，且 nnaa(1)，nn Sn,.N，n2a (1)求证:数列是等差数列; n1bTbbbT,，求,. (2)设 nnnn12S2naa(1)，nnSnn,1,N当时解:(1) n，22,2Saa,，aa(1)，,nnn2211Sa,？,1,，,22()aSSaaaa ,11111nnnnnnn,222Saa,，,nnn,111,，,，,()(1)0,0aaaaaa， nnnnnn,111a？,aan1,2()，所以数列是等差数列 nn,1nnn(1)11，(2)由(1)得 anSb,所以nnn22(1)Snn，n111？,，,，Tbbb nn12,，nn1223(1)11111,，,，,12231nn，1 ,1n，1n,n，11a,a,aa5、已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a,234n12公比 q,1.a(1)求数列的通项公式; n2n,5时,aS,1.bbb,loga,S(2)已知数列满足是数列的前n项和，求证:当 nnnnnnn12aaaa,2()解:(1)由已知得，从而得 233422q,3q，1,0 11n解得(舍去)，所以 q,或q,1a,().4221(1)nn，n2log()2(1),.(2)? b,n,S,nn，aS,n1nnnn222n2,n(n，1)(n,5.)?所证不等式等价于: 用数学归纳法证明如下: ?当n=5时，因为左边=32，右边=30，所以不等式成 立; k2,k(k，1), ?假设时不等式成立，即则 n,k(k,5)k，12,(k，1)(k，2).两边同乘以2得 这说明当n=k+1时也不等式成立。 nn,5时2,n(n，1)由?知，当成立。 n,5时,aS,1 因此，当成立。 nn,aS，6、在数列中，为其前n项和，若点a,SSn,1在直线x+y=0上， a,1nnnnn,11,a(1) 求数列的通项公式; nn2TT(2) 设，其前n项和为，求 b,nnnSn，a,SS解:(1)点在直线x+y=0上， ？nnn,1？a，SS,0， nnn,1n,2a,S,S,nnn1？当时，,？S,S，SS,0,nn1nn1,11？,1,1 ？,S,SSnnn1n,111？,1d,1,为等差数列，首项,，公差，SSan11,11，？,，n,1d,n,SSn111当时，naSS, 2,nnn,1nn,11,1n, ？,a;n,11,2n,nn,1,n2n？b,n,2,？b,(2)， nnSn？T,b，b，b，？，bn123n23n,2，2,2，3,2，n,2,234nn，1？2T,2，2,2，3,2，？，n,1,2，n,2,n，23nn，1 ？T,2T,2，2，2，？，2,n,2,nnn2，1,2，n，1？,T,n,2,n1,2n，1，？T,1,n,2,2n,aba,2bS7、已知数列满足，21,1aaaba,，,，设数列的前n项和为，令nnn1nnnnn，1nTSS, ( nnn2b(?)求数列的通项公式; n,TTnN,()(?)求证:( nn1，解:(?)由得 得整理得 从而有 ,1是首项为1，公差为1的等差数列， ？,bn,11 ？,？,nb,nbnn11(?)证明: S, ,1，.，nn2nSn8、设数列a的前项和为，已知babS,21 ,，nnnnn,1b,2an,2(?)证明:当时，是等比数列; ,n(?)求a的通项公式. ,nn解:由题意知a,2，且; babS,21，1nnn，1 babS,21，nn，11n两式相减得 ，即 baaba,21，11nnnnaba,，2 ? ，1nn nb,2aa,，22(?)当时，由?知于是 ，1nn，nnnanan,，,，,，,122212，1nn n,1,22an，n n,1n,1a,1210，所以是首项为1，公比为2的等比数列。 又an,2,1nn,1nn,11b,2an,22(?)当时，由(?)知，即 an,，12，nnb,2 当时，由?得 11nnn，11 aba,，,222nn，1,bb221b,nn ,ba22,ba,nn,b22,b, 21,b，11,nnn，1因此 aba,b,22nn，1,2,bbb22,，从而21n,a,1nnn,1，2222，,bbn，,，2,b,