典型例题一之阿布丰王创作例1 用0 到9这 10 个数字可组成多少个没有重复数字的四 位偶数？解法 1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下 的九个数字中任选3个来排列，故有A3个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下 的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字 中任选两个来排，按乘法原理有IA4 A8 A2 (个)没有重复数字的四位偶数有A3 + A1 A1 A2 二 504 +1792 二 2296 个9488I I *典型例题二例 2 三个女生和五个男生排成一排(1) 如果女生必须全排在一起，可有多少种分歧的排法？(2) 如果女生必须全分开，可有多少种分歧的排法？(3) 如果两端都不克不及排女生，可有多少种分歧的排法？(4) 如果两端不克不及都排女生，可有多少种分歧的排法？ 解：(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素， 然成一排有凹种分歧排法对于其中的每一种排法，三个女生之 间又都有因对种分歧的排法，因此共有IA66 A33二4320种分歧的排 法2)(插空法)要包管女生全分开，可先把五个男生排好， 每两个相邻的男生之间留出一个空档这样共有 4 个空档，加上 两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生拔 出这六个位置中，只要包管每个位置至多拔出一个女生，就能包 管任意两个女生都不相邻由于五个男生排成一排有国种分歧排 法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三 个女生拔出都有fAI种方法，因此共有两 A;二14400|种分歧的排法.（3）解法 1：（位置分析法）因为两端不克不及排女生，所 以两端只能挑选5个男生中的2个，有匡种分歧的排法，对于其 中的任意一种排法，其余六位都有剧种排法，所以共有 A2 A6二1440o种分歧的排法.（4）解法 1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排 了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有叵因种分歧的排 法；如果首位排女生，有囲种排法，这时末位就只能排男生，有 凶种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有圈种分 歧的排法，这样可有IA3 A5 绍种分歧排法.因此共有 AZAFAZAm卫00种分歧的排法.解法2： 3个女生和5个男生排成一排有圈种排法，从中扣去 两端都是女生排法A2 * 种，就能得到两端不都是女生的排法种 数因此共有EEAEAHH0呵种分歧的排法.典型例题三例 3 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单。(1) 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2 )歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?解：(1)先排歌唱节目有国种，歌唱节目之间以及两端共有6 个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有田中方法，所以任两个 舞蹈节目不相邻排法有：型4=43200.(2) 先排舞蹈节目有囚中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节 目间隔排列的排法有：业刎=2880种方法。典型例题四例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后 一节不排数学，那么共有多少种分歧的排课程表 的方法.分析与解法1： 6六门课总的排法是圈，其中不符合要求的可 分为：体育排在第一书有匡|种排法，如图中I;数学排在最后一 节有凹种排法，如图中II;但这两种排法，都包含体育排在第一 书数学排在最后一节，如图中III,这种情况有 国种排法，因此符 合条件的排法应是：A 6 2 A 5 + A 4 二 504 (种)典型例题五例5现有国辆公交车、国位司机和3位售票员，每辆车上需配1 位司机和1位售票员问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：口，然后把3名 司机和3名售票员分别填入因此可认为事件分两步完成，每一步 都是一个排列问题.解：分两步完成第一步，把母名司机安插到3辆车中，有 ZE!种安插方法；第二步把3名售票员安插到3辆车中，有IA；二6 种安插方法故搭配方案共有A3 - A3 二 36 种.典型例题六例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表如果有所重 点院校，每所院校有国个专业是你较为满意的选择若表格填满且 规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多 少种分歧的填表方法？解：填表过程可分两步第一步，确定填报学校及其顺序，则 在4所学校中选出3所并加排列，共有回种分歧的排法；第二步， 从每所院校的国个专业中选出个专业并确定其顺序，其中又包含 三小步，因此总的排列数有 EEA1种综合以上两步，由分步 计数原理得分歧的填表方法有：BEAEAEAEHI4种.典型例题七例5 7名同学排队照相.(I) 若分成两排照，前排3人，后排人，有多少种分歧的排 法？(2) 若排成两排照，前排国人，后排人，但其中甲必须在前 排，乙必须在后排，有多少种分歧的排法？(3) 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种分歧 的排法？(4) 若排成一排照，7人中有4名男生，13名女生，女生不克不 及相邻，有多少种不面的排法？解：(1)1 今 二A7 二5040种.(2) 第一步安插甲，有 囲种排法；第二步安插乙，有 囲种排 法；第三步余下的国人排在剩下的国个位置上，有冈种排法，由分 步计数原理得，符合要求的排法共有EEEE回种.(3) 第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余个元素排成 一排，即看成国个元素的全排列问题，有 图种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有AO种排法由分步计数原理得， 共有|A? 今二7201种排法.(4) 第一步，名男生全排列，有田种排法；第二步，女生插 空，即将国名女生拔出名男生之间的5个空位，这样可包管女生 不相邻，易知有国种拔出方法由分步计数原理得，符合条件的 排法共有：顾二1440种.典型例题八例8从|2、3、4、5、61五个数字中每次取出三个分歧的数字组成三 位数，求所有三位数的和.解：形如皿的数共有田个，当这些数相加时，由“国”发生的和是（AE!；形如匪因的数也有 国个，当这些数相加时，由“因”发生的和是肉21|；的数也有田个，当这些数相加时，由“”发生的和应是|A2 2诚这样在所有三位数的和中，由“国”发生的和是A； 2山1 同理由|3、4、5、6发生的和分别是A2 3-111A2 - 5-111A42 - 6-111，因此所有三位数的和是A：-111-(2 + 3 + 4 + 5 + 6)二 26640 .典型例题九例9计算下列各题:Am-1 - A n-mn1n-mAn-11(4)|1!+2 - 2 !+3 - 3!+ n - n !123 n 1+ .+ 2! 3! 4! n!解： A2 二 15x14二210 ； A6 二6!= 6x5x4x3x2x1 二720(n 一1)! ( )! 1=-(n m)!-n一 1 -(m一 1)!(n一 1)!=(n - m)!-(n 一 叽(n -1)! -1原(4)原式二(2! -1) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + + (n +1)! - n !二(n +1)! -11 2 3n -1+ + + +2! 3! 4! n!n 1_1_1(5)T n !(n -1)!n !111111 1 1 1 1= + + + .+ = 1 1! 2! 2! 3! 3! 4!(n -1)! n! n!本题计算中灵活地用到下列各式:n ! = n(n -1)!nn ! = (n +1)! - n !n-1_1_ 1n !(n 一 1)! n !使问题解得简单、快捷.典型例题十例10 a,b,c,d,e, /1六人排一列纵队，限定回要排在囚的前面（回 与囚可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法对这个题 目，囚、囿、C、回四位同学各自给出了一种算式：囚的算式是 曰；回的算式是|（A1+A;+A3+A4+A5） *1 ； C的算式是图； 回的算式是 口1上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不 正确的说明理由解：园中很显然，“回在b前的六人纵队”的排队数目与“b在 回前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应 是这二者数目之和这标明：囚的算式正确.B中把六人排队这件事划分为a占位，b占位，其他四人占位 这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到0占位的状况决定 了囚占位的方法数，第一阶段，当a占据第一个位置时，b占位方 法数是回；当囤占据第2个位置时，囚占位的方法数是囚； 当回占据第5个位置时，b占位的方法数是冈，当回，囚占位后， 再排其他四人，他们有冈种排法，可见團的算式是正确的.C中田可理解为从6个位置中选4个位置让丽,e,f |占据，这 时，剩下的两个位置依前后顺序应是 回的因此C的算式也正 确D中把6个位置先圈定两个位置的方法数 囹，这两个位置让 巨占据，显然，回占据这两个圈定的位置的方法只有一种（冋 要在b的前面），这时，再排其余四人，又有国种排法，可见回 的算式是对的说明：下一节组合学完后，可回过头来学习回的解法.典型例题十一例 11 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排， 乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安插法子？解法 1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法” 和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况应当使 用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”； “其他五人坐下”三个步调，又要用到分步计数原理，这样可有 如下算法：A2 - Ai - A5 + A2 - Ai - A5 二 8 640 （种） 4254451、I 丨八解法 2：采纳“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算 法把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”，这个 数目是正可在这种前提下，分歧题意的方法是“甲坐第一排， 且乙、丙坐两排的八人坐法”这个数目是IA4 C2 A3 A4 A5其中 第一个因数囚暗示甲坐在第一排的方法数，回暗示从乙、丙中任 选出一人的法子数，因暗示把选出的这个人安插在第一排的方法 数，下一个回则暗示乙、丙中沿未安插的那个人坐在第二排的方 法数，国就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为Ai - A7 - Ai - Ci - Ai - Ai - A5 二 8 640 （种）4 7 4 2345I VI I 八说明：解法 2 可在学完组合后回过头来学习典型例题十二例 12 计划在某画廊展出 10 幅分歧的画，其中 1 幅水彩画、4幅油画、5 幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在起，而且不彩画不放在两端，那么分歧陈列方式有（ ）AA4 - A55BA3 - A4 - A5u I 345CC1 - A4 - A5345D A2 - A4 - A5U I_2_45解：将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两 端，共有田种排列但4幅油画、5幅国画自己还有排列顺序要 求所