_高等数学_课程教案授课类型 理论课 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.1映射与函数 一、集合 二、映射 三、函数本授课单元教学目标或要求： 映射与函数概念、函数的几种特性要求：熟悉初等函数图形、性质，能建立简单实际问题中的函数关系式本授课单元教学内容： 通过生活中的实例引入集合相关概念，给出集合的表达形式并讨论其运算，通过对集合运算法则的证明培养学生严谨的逻辑思维；给出映射概念及其表示形式并举例说明，通过对实例的分析，对映射进行分类；在映射概念的基础上，说明函数是一种特殊的映射，并列举多个常用函数进行分析；给出函数有界性的定义并举例进行说明，回顾初等数学中函数奇偶性、单调性与周期性并给出函数实例；通过画集合之间的关系图示，分析逆映射与复合映射，给出反函数与复合函数概念；最后给出函数之间四则运算的表达形式并举例说明。 重点：函数概念，函数奇偶性、单调性、周期性、有界性，反函数、复合函数概念难点：映射与函数关系，反函数、复合函数概念难点突破：通过实例的列举和画集合之间的关系图示，帮助学生理解映射、逆映射和复合映射的概念，在此基础上利用映射引入函数概念，分析函数定义的两个要素，进一步利用逆映射定义反函数、利用复合映射定义复合函数。 本授课单元教学手段与方法：实例教学方法和画图辅助法。本授课单元思考题、讨论题、作业： 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.2数列的极限本授课单元教学目标或要求：数列极限的定义、收敛数列的性质、简单的数列极限计算要求：理解极限的定义、会做简单的给出求的计算，收敛数列的性质，简单的数列极限计算本授课单元教学内容： 通过讨论典型数列，和，启发学生认识到：数列当时有四种变化趋势：（1）与某常数无限接近；（2）无限增大；（3）无限减小；（4）无特定的变化趋势，在此基础上引入数列极限的定义，并进一步利用该定义，证明数列极限的四条重要性质。 重点：数列极限的定义，收敛数列的性质，简单的数列极限计算难点：数列极限的定义难点突破：在老师的启发下，师生互动的过程中，通过对数列与常数的关系的细致入微地剖析，逐渐将数列极限概念渗透到学生的头脑中。在讲解难点时，注意结合数列极限的几何意义这一重要的辅助手段，帮助学生理解数列极限的定义的本质。本授课单元教学手段与方法：本节在教师的引导下，启发学生发现、总结、思考并解决问题。本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.3函数的极限本授课单元教学目标或要求：函数极限的、定义，函数极限的性质，简单的函数极限计算要求：理解函数极限的定义、会做简单的给出求的计算，函数极限的性质，函数极限计算本授课单元教学内容： 在分析数列与函数关系的基础上，启发学生思考函数极限可能出现的自变量变化情形，抛开数列极限定义中的特殊性，给出自变量的两种变化趋势；与数列极限的对比给出自变量趋于有限值时函数极限为的、自变量趋于无穷大时函数极限为的定义，利用定义证明几个简单函数的极限；进一步分别给出两种情形下函数极限为的几何解释和单侧极限的定义，讨论极限存在与单侧极限之间的关系并举例说明；与数列极限的四条性质相对应，给出函数极限的相应性质，并利用几何解释作为辅助思考手段，启发学生共同完成证明。重点：函数极限的、定义，函数极限的性质，简单的函数极限计算难点：函数极限的、定义难点突破：本节的难点在于函数极限的、定义，在讲授时首先分析数列与函数关系，从而启发学生思考函数自变量可能出现的变化情形与数列变化情形的不同，在此基础上给出自变量的两种变化情形，并与数列类比得出相应的函数极限定义。本授课单元教学手段与方法：和数列极限进行类比进行讲授，以几何解释作为辅助手段。本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.4无穷小与无穷大 1.5极限运算法则本授课单元教学目标或要求：无穷大、无穷小的定义，无穷大、无穷小的关系，极限运算法则要求：理解无穷大、无穷小的定义，熟悉无穷大、无穷小的关系，熟练掌握极限运算法则本授课单元教学内容：给出无穷小的定义并举例，强调学生注意无穷小与很小数的区别，利用无穷小给出函数极限存在的充要条件；给出无穷大的定义并举例，同样强调学生注意无穷大与很大数的区别，给出函数为当时无穷大的几何意义并举例说明；利用函数极限的定义证明无穷大与无穷小之间的关系定理；利用极限定义、无穷小与函数极限的关系证明极限相关运算法则，在此基础上举例说明这些法则的使用，总结有理函数极限计算的各种可能情形。 重点：无穷大、无穷小的定义，无穷大、无穷小的关系，极限运算法则难点：复合函数极限运算法则难点突破：本节的难点是复合函数当时极限运算法则的证明，在证明之前，分析当时极限为的定义，从而得到中间变量需要满足的条件，进一步结合当时极限为的定义给出证明。本授课单元教学手段与方法：以讲授和实例为主的教学方法。本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.6极限存在准则 两个重要极限本授课单元教学目标或要求：极限存在准则，两个重要极限要求：理解极限存在准则，熟练运用两个重要极限求极限本授课单元教学内容：首先证明数列极限存在准则I夹逼准则并推广到函数极限运算上，然后利用这一准则作辅助单位圆证明重要极限1，向学生展示数学中代数、几何的有机统一，之后举例说明极限存在准则I和重要极限1的适用情形；给出数列极限存在准则II并给出其几何解释，证明重要极限2，举例说明数列极限存在准则II和重要极限2的适用情形。重点：极限存在准则 两个重要极限难点：极限存在准则II难点突破：本节的难点是极限存在准则II，解决这一难点的关键是要同学生一起在互动讨论中得出极限存在准则II直观的几何解释，帮助学生很好的理解极限存在准则II中包含的数学思想，之后通过变式教学方法，突出两个重要极限的本质特征本授课单元教学手段与方法：实例教学法和变式教学法。本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.7无穷小的比较 1.8函数的连续性与间断点本授课单元教学目标或要求：无穷小的比较，函数连续的定义，函数的间断点的分类要求：理解高阶无穷小、等价无穷小、同阶无穷小的定义，会用等价无穷小代换，理解函数连续的定义，能判断函数的连续和间断点及间断点的类型本授课单元教学内容：通过三个实例，提出无穷小趋于零的“快慢”问题，在此基础上给出高阶、低阶、同阶、阶和等价无穷小的定义，以实例说明这些定义；证明为等价无穷小的充分必要条件并给出常用的时的等价无穷小；证明重要的等价无穷小代替定理，举例说明这一定理，并通过等实例说明使用这一定理的前提条件；从生活中的实例出发，得出函数连续的直观描述，并结合平面曲线连续引入函数连续的数学定义，进一步给出单侧连续的定义，讨论函数间断点的分类与判断方法。 重点：无穷小的比较、等价无穷小代换，函数连续的定义，函数的间断点的分类难点：等价无穷小代换，函数的间断点的分类难点突破：针对等价无穷小代换这一难点，总结常用的等价无穷小，通过实例说明代换需满足的条件；函数间断点的分类中通过流程型板书格式突出内容的逻辑衔接。本授课单元教学手段与方法：发现教学法和实例教学法。本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 1.10闭区间上连续函数的性质本授课单元教学目标或要求：连续函数的运算，初等函数在其定义区间内连续，闭区间上连续函数的性质要求：熟练运用连续函数的运算求极限，能判断一个函数是否为初等函数并给出其连续区间，会用零点定理判断方程根的存在性本授课单元教学内容：与极限运算相类比，对连续函数四则运算、反函数、复合函数连续性定理进行证明，并以实例进行说明；首先总结基本初等函数在其定义域内都是连续的，回顾初等函数的定义，然后结合连续函数的运算，在与学生的共同讨论中得出初等函数在其定义区间内都是连续的这一重要结论，通过实例解释定义区间与定义域的区别；结合对几何图形的分析证明闭区间上连续函数的有界性和最大最小值定理、零点定理和介值定理。重点：连续函数的运算，初等函数在其定义区间内连续，闭区间上连续函数的性质难点：闭区间上连续函数的性质难点突破：本节的难点在于学生对闭区间上连续函数性质的理解和使用，解决这一难点的关键在于应该将函数与图形相结合，采用图形辅助的方法，在教师启发下，引导学生主动去发现这些性质，加深对这些性质的理解，进而学会使用这些性质。本授课单元教学手段与方法：发现教学法、实例教学法和图形辅助相结合 本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 习题课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限习题课本授课单元教学目标或要求：函数与极限综合习题课要求：掌握函数基本性质，掌握数列、函数极限的求法，能判断函数的连续和间断、间断点类型，