精选优质文档-倾情为你奉上锐角三角函数全章复习 【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30、45、60的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；2理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；3通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在RtABC中，C=900，如果锐角A确定： (1)sinA=，这个比叫做A的正弦. (2)cosA=，这个比叫做A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“”， 但不能写成sinA，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“”不能省略，应写成sinBAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同样，cosA、tanA也是A的函数，其中A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量A的取值范围是0A90，函数值的取值范围是0sinA1，0cosA1，tanA0.2锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 若A+B=90， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 同角三角函数关系：sin2Acos2A=1；tanA=3.30、45、60角的三角函数值A304560sinAcosAtanA1二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形角角关系：两锐角互余，即A+B=90；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即三、解直角三角形的应用1.解这类问题的一般过程(1)弄清仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：； 坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：注：1解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤RtABC两边两直角边(a，b)由求A，B=90A，斜边，一直角边(如c，a)由求A，B=90A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如A，b)B=90A，锐角、对边(如A，a)B=90A，斜边、锐角(如c，A)B=90A， 【典型例题】类型一、锐角三角函数1(1)如图所示，P是角的边上一点，且点P的坐标为(-3，4)，则sin( ) A B C D2 例1（1）图 例1（2）图(2)在正方形网格中，AOB如图所示放置，则cosAOB的值为( ) A. B. C. D.2【答案】(1)C； (2)A；【解析】(1)由图象知OA3，PA4，在RtPAO中 所以选C(2)由格点三角形知如图中存在一个格点三有形RtOCD，且OC1，CD2，则OD因此所以选A2在RtABC中，C90，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则A的正弦值是( ) A扩大2倍 B缩小2倍 C扩大4倍 D不变【答案】 D；【解析】根据知sinA的值与A的大小有关，与的比值有关当各边长度都扩大为原来的2倍时，其的比值不变故选D.举一反三：1、已知，如图，D是中BC边的中点，求 2、已知，如图，中，求cosA及tanA3、如图所示，已知ABC是O的内接三角形，ABc，ACb，BCa，请你证明 【答案】 1、过D作DEAB交AC于E，则ADE=BAD=90，由，得设AD=2k,AB =3k,D是中BC边的中点，DE =在RtADE中， 2、易证点B、C、D、E四点共圆，ADEABC，cosA= tanA= 3、 证明：O是ABC的外接圆，设圆的半径为R，连结AO并延长交O于点D，连结CD，则BDAD是O的直径，ACD90即ADC为直角三角形，同理可证：，类型二、 特殊角三角函数值的计算3先化简，再求代数式的值，其中 【答案】 原式而 原式4已知a3，且，则以a、b、c为边长的三角形面积等于( ) A6 B7 C8 D9【答案】A；【解析】根据题意知 解得 所以a3，b4，c5，即，其构成的三角形为直角三角形，且C90，所以举一反三：计算：1、tan230cos230sin245tan45 2、 60【答案】1、原式= = = 2、原式=类型三、 解直角三角形5如图所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DEAB，垂足为E，则下列结论正确的个（ ）DE3 cm；BE1 cm；菱形的面积为15 cm2；BDcm A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C；【解析】由菱形的周长为20 cm知菱形边长是5 cm在RtADE中， AD5 cm，sin A， DEADsinA(cm) (cm) BEABAE541(cm)菱形的面积为ABDE5315(cm2)在RtDEB中，(cm)综上所述正确故选C 举一反三：如图所示，在等腰RtABC中，C90，AC6，D是AC上一点，若，则AD的长为( ) A2 B C D1【答案】 A；【解析】 作DEAB于点E因为ABC为等腰直角三角形，所以A45，所以AEDE又设DEx，则AEx，由知BE5x，所以AB6x，由勾股定理知AC2+BC2AB2，所以62+62(6x)2，ADAE类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合6如图所示，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的O经过点D，E是O上一点，且AED45 (1)试判断CD与O的关系，并说明理由 (2)若O的半径为3 cm，AE5 cm求ADE的正弦值【答案】 (1)CD与O相切 理由：如图所示，连接OD， 则AOD2AED24590 四边形ABCD是平行四边形， ABDC， CDOAOD90， ODCD，CD与O相切(2)如图所示，连接BE，则ADEABEAB是O的直径，AEB90，AB236(cm)在RtABE中，sinADEsinABE7如图所示，直角ABC中，C90，AB，sin B，点P为边BC上一动点，PDAB，PD交AC于点D，连接AP， (1)求AC，BC的长；(2)设PC的长为x，ADP的面积为y，当x为何值时，y最大，并求出最大值【答案】 (1)在RtABC中，由，AC2，由勾股定理得BC4(2)PDAB，ABCDPC，PCx，则，当x2时，y有最大值，最大值是1举一反三：1、如图，C、D是半圆O上两点，求和 【答案】如图，连结BC，则ACB=90，易证ECDEBA，cosCEB= tanCEB=类型五、三角函数与实际问题8如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号)【答案】过点P作PCAB垂足为C，则APC30，BPC45，AP80，在RtAPC中，PCPAcosAPC，在RtPCB中，当轮船位于灯塔P南偏东45方向时，轮船与灯塔P的距离是海里9为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图所示是一辆自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们相互垂直，座杆CE的长为20cm，点A、C、E在同一条直线上，且CAB75，如图所示 (1)求车架档AD的长； (2)求车座点E到车架档AB的距离 (结果精确到1cm，参考数据：sin750.959，cos750.2588，tan753.7321)【答案】(1)在RtACD中，车架档AD的长为75cm(2)过点E作EFAB于F，sinEAF， EFAEsinEAF(45+20)sin7563cm， 车座点E到车档架AB的距离是63cm【点评】考查解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数定义. 巩固练习（一）一、选择题1如图1，已