XX年九年级数学上4.4解直角三角形的应用教案新版湘教版.4解直角三角形的应用第1课时俯角和仰角问题教学目标【知识与技能】比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.【过程与方法】通过学习进一步掌握解直角三角形的方法.【情感态度】培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际 问题.【教学难点】选用恰当的直角三角形，分析解题思路.教学过程一、情景导入，初步认知海中有一个小岛 A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货 轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的c处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险 吗？你是如何想的？与同伴进行交流.【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用.二、思考探究，获取新知.某探险者某天到达如图所示的点 A处，他准备估算出 离他的目的地一一海拔为 3500的山峰顶点 B处的水平距 离.你能帮他想出一个可行的办法吗？分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔， Ac丄BD,垂足为点c.先测量出海拔 AE,再测出仰角/ BAc, 然后用锐角三角函数的知识就可以求出A B之间的水平距离Ac.【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成 的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的 角叫作俯角.如图，在离上海东方明珠塔底部 1000的A处，用仪 器测得塔顶的仰角为 25,仪器距地面高为 1.7.求上海东 方明珠塔的高度.解：在 Rt ABc中，/ BAc= 25,Ac= 1000，因此 tan25 =BcAc= Bc1000 Bc= 1000 X tan25 466.3 ,上海东方明珠塔的高度为 466.3 + 1.7 = 468米.【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生 的学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角 三角形问题，从而解决问题.三、运用新知，深化理解.如图，某飞机于空中 A处探测到目标c,此时飞行高 度Ac= 1200 米,从飞机上看地平面控制点 B的俯角a = 16 3T,求飞机A到控制点B的距离.分析：利用正弦可求.解：在 Rt ABc中 sinB = AcAB AB= AcsinB = 1XX.2843 4221答：飞机A到控制点B的距离约为4221米.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰 角为30,看这栋高楼底部的俯角为 60 ,热气球与高楼 的水平距离为120.这栋高楼有多高？分析：在 Rt ABD中, a = 30, AD= 120.所以可以利 用解直角三角形的知识求出 BD类似地可以求出 cD,进而 求出Bc.解：如图，a = 30 , B = 60 , AD= 120.tan a = BDAD tan B = cDADBD= ADtan a = 120 x tan30 = 120 x 33 = 403, cD= ADtan B = 120 x tan60 = 120 x 3= 1203. Bt B cD= 403 + 1203 = 1603227.1答：这栋高楼约高 277.1.如图，在离树 Bc12米的A处，用测角仪测得树顶的 仰角是30，测角仪AD高为1.5米，求树高Bc.分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D作DEL Bc于E,把求cB的问题转化求 BE的长，从而可以在 BDE中利用三角函数.解：过点D作DEL Bc于E,则四边形 DEcA是矩形，二DE= Ac= 12 米.cE= AD= 1.5 米.在直角厶 BED 中，/ BDE =30 ,tan30 = BEDE BE= DE- tan30 = 43 米. Bc= BE+ cE=米.广场上有一个充满氢气的气球P,被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30、45, E点与F点的高度差 AB为1米，水平距离 cD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？分析：由于气球的高度为 PA+ AB+ FD,而AB= 1米，FD =0.5米，故可设PA= h米，根据题意，列出关于h的方程可求解.解：设 AP= h 米，/ PFB= 45, BF= pb”， EA= BF+ cD= h+ 1 + 5 =米，在 Rt PEA中，PA= AE tan30 , h= tan30 ,.气球的高度约为 PA+ AB+ FD= 8.2 + 1 + 0.5 = 9.7 米.【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的 哪个角或边，本题已知什么，求什么.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进 行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题 4.4 ”中第2、4、5题.教学反思本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形 的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适 当的数学知识加以解决.第2课时坡度和方位角问题教学目标【知识与技能】.了解测量中坡度、坡角的概念；.掌握坡度与坡角的关系， 能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.【过程与方法】通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际 问题.【情感态度】进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关 的实际问题.【教学难点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有 关实际问题.教学过程一、情景导入，初步认知如图所示，斜坡 AB和斜坡A1B1,哪一个倾斜程度比较 大？显然，斜坡 A1B1的倾斜程度比较大，说明/ A1Z A.从图形可以看出， B1c1A1c1 BcAc,即卩tanAI tanA.【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴 趣.二、思考探究，获取新知.坡度的概念，坡度与坡角的关系.如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度，记作i，即i=AcBc,坡度通常用I ：的形式，例如上图中的1 : 2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作a .从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i = tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.如图，一山坡的坡度为i = 1 : 2,小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了 240米到达点c,这座山坡的坡角是多少度？ 小刚上升了多少米？.如图，一艘船以 40/h的速度向正东航行，在 A处测 得灯塔c在北偏东60方向上，继续航行 1h到达B处，这 时测得灯塔c在北偏东30方向上，已知在灯塔 c的四周 30内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别 代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件， 再分析图形求出问题.学生独立完成.三、运用新知，深化理解.如图，在山坡上种树，要求株距是5.5，测得斜坡的倾斜角是24 ，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少.分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形.解：已知：在 Rt ABc 中，/ c = 90 , Ac= 5.5 ,Z A =24 ，求 AB.在 Rt ABc 中，cosA = AcABAB= AccosA= 5.50.9135 6.0 .答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这 样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶 宽6,坝高23,斜坡AB的坡度i = 1 : 3,斜坡cD的坡度i =1 : 2.5，求斜坡AB的坡面角a，坝底宽AD和斜坡AB的 长.解：作BE丄AD cF丄AD在 Rt ABE和 Rt cDF 中，BEAE= 13, cFFD= 12.5.AE= 3BE= 3X 23= 69.FD= 2.5cF = 2.5 X 23= 57.5 .AD= AE+ EF+ FD= 69+ 6+ 57.5 = 132.5 .因为斜坡 AB的坡度i = tan a = 130.3333 ,所以a18 26 .T BEAB= sin a , AB= BEsin a = 230.3162 72.7 .答：斜坡AB的坡角a约为18 26,坝底宽AD为132.5 米，斜坡AB的长约为72.7米.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚c处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚 B处 出发.如图，已知小山北坡的坡度 i = 1 : 3, 山坡长为240 米，南坡的坡角是 45。问李强以什么速度攀登才能和庞亮 同时到达山顶A?解：过点A作AD丄Be于点D,在 Rt ADe 中，由 i = 1 : 3 得 tane = 13= 33,/ e = 30 . AD= 12Ae= 12X 240= 120.在 Rt ABD中，/ B= 45, AB= 2AD= 1202.02-= 1202 + 10 = 122答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到 达山顶A.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，Be表示平台，eD表示滑道.若点E, F均在线段AD上，四边形 BeEF是矩形，且 sin / BAF= 23, BF= 3 米，Be= 1 米，eD= 6米.求：/ D的度数；线段AE的长.解：四边形 BeEF是矩形，/ BFE=Z cEF= 90, eE= BF, Be= FE,/ BFA=Z eED= 90, eE= BF, BF= 3 米， eE= 3 米，T eD= 6 米，/ eED= 90,/ D= 30 . sin / BAF= 23, BFA吐 23,t BF= 3 米，二 AB= 92 米， AF= 2-32= 352 米， AE= 35 + 22 米.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关 注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行 现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境 的影响及时开展分析评估.如图，上午9时，海检船位于 A处，观测到某港口城市 P位于海检船的北偏西 67.5 方向， 海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市 P位于海检船的南偏西 36.9 方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离.分析：过点P作Pc丄AB,构造直角三角形，设Pc= x海里，用含有x的式子表示Ac, Bc的值，从而求出 x的值，再根据三角函数 值求出BP的值即可解答.解：过点P作Pc丄AB,垂足为c，设Pc= x海里.在 Rt APc 中，I tanA = PcAc, Ac= Pctan67.5 = 5x12在 Rt PcB 中，I tanB = PcBc,