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1 1专题一 集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语 1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:弄清元素是函数关系式中自变量的取值,还是因变量的取值,还是曲线上的点, 集合中元素的“三性”既是解题的突破口,也是检验所得字母取值(或范围)是否保留的依据2. 数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决3. 已知集合A、B,当AB时,你是否注意到“极端”情况:A或B?求集合的子集时是否忘记?分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n1,2n1,2n2;是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集5. 命题逻辑联结词“或”“且”“非”与集合论中的“并”“交”“补”运算要进行类比理解,掌握解这类题的一般步骤与解题格式6. 学习本节内容,要侧重于语言(集合语言、数学符号语言)的转化,要强化数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法在数学中的应用1. 已知A、B是非空集合,定义ABx|xAB且xAB若AxR|y,By|y3x,xR,则AB_. 答案:(,3)解析:A(,03,),B(0,),AB(,),AB3,) AB(,3)2. 某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_答案:12解析:这是一个典型的用韦恩图来求解的问题如图,设两者都喜欢的人数为x,则只喜爱篮球的人数有15x,只喜爱乒乓球的人数有10x,由此可得(15x)(10x)x830,解得x3,所以15x12,即所求人数为12.3. 已知条件p:aMx|x2x0,条件q:aNx|x|2则p是q的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件答案:充分不必要解析:M(0,1) N(2,2)4. 已知p:4xa0,若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是_答案:1,6解析:p:a4xa4,q:2x2p1p2.BA成立综上得p3.点评:从以上解答应看到:解决有关AB,ABA,ABB或AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题设全集是实数集R,Ax|2x27x30,Bx|x2a0(1) 当a4时,分别求AB和AB;(2) 若(RA)BB,求实数a的取值范围解:(1) 由2x27x30,得x3, A.当a4时,解x240,得2x2, Bx|2x2 AB,ABx|2x3(2) RA,当(RA)BB时,BRA. 当B时,即a0时,满足BRA; 当B时,即a0时, Bx|x,要使BRA,须,解得a0, 0,这时集合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a110 如果AB,那么据(2)的结论,AB中至多有一个元素(x0,y0),而x00,y00,这样的(x0,y0)A,产生矛盾,故a11,d1时AB,所以a10时,一定有AB是不正确的题型三 集合与逻辑知识应用的拓展例3 设集合A,Bx | x 1|a,则“a1”是“AB”的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件答案:充分不必要解析:由题意得A:1x1,B:1axa1, 由a1.A:1x1.B:0x2.则ABx|0x1成立,即充分性成立 反之:AB,不一定推得a1,如a可能为.综合得“a1”是“AB”的充分不必要条件 设U为全集,A、B是集合,则“存在集合C使得AC,BUC”是“AB”的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件答案:充要解析:若存在集合C使得AC,BUC,则可以推出AB;若AB,由韦恩图可知,一定存在CA,满足AC,BUC,故“存在集合C使得AC,BUC”是“AB”的充要条件题型四 充要条件的探求与证明例4 已知数列an的前n项和为Snpnq(p0,p1),求数列an为等比数列的充要条件解:数列an为等比数列,则a1pq,n2,anSnSn1(p1)pn1.由于p0,p1, n2时,数列an是公比为p,首项为p1的等比数列, pqp1, q1.由上面探求的过程可知,数列an为等比数列的充要条件即为q1. 已知p:12x8;q:不等式x2mx40恒成立,若p是q的必要条件,求实数m的取值范围解:p:12x8,即0x3, p是q的必要条件, p是q的充分条件, 不等式x2mx40对x(0,3)恒成立, mx对x(0,3)恒成立 x24,当且仅当x2时等号成立, m4.1. (20xx湖南卷)“1x2”是“x2”成立的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件答案:充分不必要2. (20xx福建卷)命题“x0,),x3x0”的否定是_答案: x0,),x3x03. (20xx四川卷)已知集合Ax|x2x20,集合B为整数集,则AB_答案:1,0,1,24. 已知集合AxR|x2|3,集合BxR|(xm)(x2)0,且AB(1,n),则m_,n_答案:11解析: AxR|x2|3x|5x1,又AB(1,n),画数轴可知m1,n1. 5. (20xx上海卷)设常数aR,集合Ax|(x1)(xa)0,Bx|xa1若ABR,则a的取值范围为_答案:(,2解析:若a1,则A(,1a,),Ba1,),ABR,a11,则1a2;若a1,ABR成立,a1,则A(,a1,),ABR成立综上a2.6. (20xx福建卷)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足;() Tf(x)|xS;() 对任意x1,x2S,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2)那么称这两个集合“保序同构”现给出以下3对集合: AN,BN*; Ax|1x3,Bx|8x10; Ax|0x1,BR.其中,“保序同构”的集合对的是_(写出所有“保序同构”的集合对的序号)答案:解析:对取f(x)x1,xN*,所以BN*,AN是“保序同构”;同理对取f(x)x(1x3);对取f(x)tan,所以应填.(本题模拟高考评分标准,满分14分)已知命题:“xx|1x1,使等式x2xm0成立”是真命题(1) 求实数m的取值集合M; (2) 设不等式(xa)(xa2)1时,a2a,此时集合Nx|2ax;(9分)当a1时,a2a,此时集合Nx|ax2a,则
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