椭圆中的定点，定值，最值问题：18（2023常州一模）（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为（，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点求椭圆的标准方程；若时，求实数；试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论17.（2023苏北四市）（本题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M，N，若圆C的不圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A为圆C上的一点.（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；（2）求（O为坐标原点）的取值范围；（3）求的最大值和最小值.17.（1）设椭圆的标准方程为，依题意可得，可得，所以，所求椭圆的标准方程为.3分因为圆的圆心C和椭圆的右焦点重合，圆的半径恰为椭圆的短半轴长，故园的标准方程为.5分（2）由（1）得圆心C（1，2），所以，而则所以，7分而则，即即，因此，从而（O为坐标原点）的取值范围为.10分(3)表示圆上点P与坐标原点O的距离的平方，因为原点O到圆心C（2，0）的距离为2，圆的半径为1，所以P与坐标原点O的距离的最小值为2-1=1，与坐标原点O的距离的最大值为2+1=3，故的最大值为9，最小值1. 14分18. （本小题满分16分）（2023苏州）如图，椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作直线的垂线分别交椭圆、轴于两点.若,求实数的值；设点为的外接圆上的任意一点，当的面积最大时，求点的坐标.（2023无锡一模）已知椭圆 的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点（1） 当直线AM的斜率为时，求点M的坐标；（2） 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由18（1）直线AM的斜率为时，直线AM：， 1分代入椭圆方程并化简得：， 2分解之得， 4分（2）设直线AM的斜率为，则AM：，则化简得：6分此方程有一根为， 7分同理可得8分由（1）知若存在定点，则此点必为9分，11分同理可计算得13分直线MN过轴上的一定点 16分17、（2023南京二模）（本题满分14分）如图, 椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B、D，四边形DAMB是矩形（O为坐标原点），点E、P分别是线段OA、AM的中点。（1） 求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上.（2） 过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于R、S（不同于B点），且它们的斜率k1、k2满足k1*k2=-，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标。20. （2023南通二模）已知依次满足 （1）求过点的轨迹； （2）过点作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的 距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程； （3）经过（2）中椭圆上顶点B作直线m，n，使mn，直线m，n分别交椭圆于P，Q，连接PQ，求证PQ经过定点.解：（1）设（2）设直线的方程为 椭圆的方程 由与圆相切得：将代入得：，又，可得，有，. （3）点B(0，2)，直线m：y=kx+2，代入椭圆方程得：x2+2(kx+2)2=8， 解出 ；直线n：y=(-1/k)x+2，同理得：.直线PQ的方程：. 令x=0，直线PQ经过定点.17（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l： 求椭圆的标准方程； 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值解：椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：，不妨设椭圆C的方程为（2分），（ 4分）即（5分）椭圆C的方程为（6分）F（1，0），右准线为l：， 设， 则直线FN的斜率为，直线ON的斜率为，（8分）FNOM，直线OM的斜率为，（9分）直线OM的方程为：，点M的坐标为（11分）直线MN的斜率为（12分）MNON， ， ，即（13分）为定值（14分）直线和圆中的最值问题：19（苏北九市2023一模）（本小题满分16分）已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切（）求m的值与椭圆E的方程；（）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围19（本小题满分16分）解：（）点A代入圆C方程，得m3，m1 2分圆C：设直线PF1的斜率为k，则PF1：，即直线PF1与圆C相切，解得 4分当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为4，c4F1（4，0），F2（4，0） 6分2aAF1AF2，a218，b22椭圆E的方程为： 8分2（），设Q（x，y）， 10分，即，而，186xy18 12分则的取值范围是0，36 14分的取值范围是6，6的取值范围是12，0 16分18、(本小题满分16分）已知椭圆C：+=1(ab0)的离心率为，且经过点P(1，)。(1)求椭圆C的方程；(2)设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M。问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点?(3)设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值。解：(1)椭圆+=1(ab0)的离心率为，且经过点P(1，)，即 ，解得 ，椭圆C的方程为+=1。(2)易求得F(1，0)。设M(x0，y0)，则+=1， 圆M的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02，令x=0，化简得y2-2y0y+2x0-1=0，=4y02-4(2x0-1)20。将y02=3(1-)代入，得3x02+8x0-160，解出 -4x0。(3)设D(0，y1)，E(0，y2)，其中y1y2。由(2)，得DE= y2- y1=，当x0=-时，DE的最大值为。17（本小题共14分）椭圆：的一个焦点，右准线方程（1）求椭圆的方程；（2）若为右准线上一点，为椭圆的左顶点，连结交椭圆于点，求的取值范围；（3）设圆Q：与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆上一点作圆Q的切线、，切点为，求的最大值17、解：（1）由题意得，得，所求椭圆方程为4分（2）设点横坐标为，则，的取值范围是9分（3）由题意得，即圆心Q为，设，则，即，易得函数在上单调递减，在上单调递增，时，. 14分1. (本题满分16分)已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1),且圆C在点P处的切线的斜率为1.(1)试求圆C的方程；(2)若点A、B是圆C上不同的两点，且满足=，yxCQPO第18题R试求直线AB的斜率；若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求直线AB在y轴上的截距的范围。18.（1）设圆方程为，则圆心，且PC的斜率为-12分所以5分解得，所以圆方程为7分（2）=，所以AB斜率为110分设直线AB方程为，代入圆C方程得设，则原点O在以AB为直径的圆的内部，即14分整理得，16分18（本小题满分16分）在直角坐标系xOy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于A，B两点，AOB的内切圆为圆M（1）如果圆M的半径为1，l与圆M切于点C (，1)，求直线l的方程；（2）如果圆M的半径为1，证明：当AOB的面积、周长最小时，此时AOB为同一个三角形；（3）如果l的方程为xy20，P为圆M上任一点，求的最值18解析：（1）由题可得，所以l：y1（2）设A(a，0)，B(0，b) (a2，b2)，则l：bxayab0由题可得M (1，1)所以点M到直线l的距离d1，整理得(a2)(b2)2，即ab2(ab)20于是ab22(ab)，2，ab6当且仅当ab2时，ab6所以面积S3，此时AOB为直角边长为2的等腰直角三角形周长Lab(2)6，此时AOB为直角边长为2的等腰直角三角形所以此时的AOB为同一个三角形（3）l的方程为xy20，得A(2，0)，B(0，2)，：1，设P(m，n)为圆上任一点，则1，2(mn)1，1，2mn2(4)(mn)(9)(2)(mn)当mn2时，(9)(2)( 2)17此时，mn1当mn2时，(9)(2)( 2)9此时，mn117.（2023苏北四市二模）如图，已知位于轴左侧的圆与轴相切与点，且被轴分成的两段弧之长比为，过点的直线与圆相交于、两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点.(1)求圆的方程；(2)当时，求出直线的方程；(3)求直线的斜率的取值范围. 17解：（1）因为位于轴左侧的圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，设圆与轴的交点分别为、，由圆被轴分成的两段弧长之比为，得，所以，圆心的坐标为，所以圆的方程为： 4分（2）当时，由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，由得或，不妨令，因为以为直径的圆恰好经过，所以，解得，所以所求直线方程为或10分（3）设直线的方程为， 由题意知，解之得， 同理得，解之得或 由（2）知，也满足题意所以的取值范围是 14分18（本小题满分15分）如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。（）若PAB=30，求以MN为直径的圆方程；（）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。18（本小题满分15分）解：建立如图所示的直角坐标系，O的方程为，直线L的方程为。（）PAB=30，点P的坐标为，。将x=4代入，得。MN的中点坐标为（4