、第一换元积分法(凑微分法),J f (x)dx = J f 中(t)W(t)dt = F(t) + C = Fw (x) + CJ g中()中(x)dx = J g (u)du = F(u) + C = F中(x) + C积分类型换元公式第一换 元 积 分 法1. J f (ax+b)dx= 1 Jf (ax+ b)d(ax+b)(a丰 0)a2. J f (x 日)x 四-1dx = 1 J f (x 日)d (x 日)(口。0)P3. J f (ln x) - 1dx = J f (ln x)d(ln x)x4.J f(ex) . exdx = J f(ex )dex5. J f (ax) . axdx =】1 J f (ax )dax6. J f (sin x) . cos xdx = J f (sin x)d sin x7. J f (cos x) . sin xdx = -J f (cos x)d cos x8. J f (tan x) sec2 xdx = J f (tan x)d tan x9. J f (cot x) csc2 xdx = -J f (cot x)d cot x10. J f (arctan x)dx = J f (arctan x)d(arctan x)1 + x211. J f(arcsinx)1dx = -J f (arcsin x)d(arcsin x)寸1 x 2u = ax + bu = x Pu = ln xu = exu = axu = sin xu = cos xu = tan xu = cot xu = arctan xu = arcsin x二、常用凑微分公式三、第二换元法注：以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下: 当被积函数中含有a) 、； a 2 - x2 , 可令 x = a sin t;b) v x2 + a 2 ,可令 x = a tan t;c) vx2 - a 2 ,可令 x = a sec t.当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换x = 1.t四、积分表续4.3分部积分法分部积分公式:udv = uv - J vdu(3.1)juvdx = uv - j uvdx(3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算.一般地，下列类型的被 积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n都是正整数).xn sin mxenx sin mxxnemxxn arcsin mxxn cos mxenx cos mxxn (In x)xn arccos mxxn arctan mx等5.1定积分的概念5.2定积分的性质bf (x)dx = -jaf (x)dx .ab两点补充规定：(a)当a = b时，jbf (x)dx = 0; (b)当a b时,性质1性质2性质3性质4j b f (x) 士 g (x)dx = j bf (x)dx 士bg (x)dx.aaaj4f (x)dx = k jbf (x)dx, (k 为常数).aajbf (x)dx = jcf (x)dx + jbf (x)dx .aacjb /jbu1 - dx = dx = b - a.aa(a b).性质 5 若在区间a,b上有 f g(x),贝 Jbf (x)dx 0,贝jbf (x)dx 0,(a b).a推论 2 jbf (x)dx jb| f (x) | dx (a b).a性质6 (估值定理)设M及m分别是函数f (x)在区间a,b上的最大值及最小值，则m(b 一 a) jbf (x)dx M (b 一 a).a性质7 (定积分中值定理)如果函数f (x)在闭区间a,b上连续，则在a,b上至少存在 个点& ,使j bf (x)dx = f (& )(b - a), (a & b).a5.3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：(x) = jxf (t)dta定理2若函数f在区间a,b上连续，则函数(x) = f xf (t )dta就是f (x)在a,b上的一个原函数.三、牛顿一莱布尼兹公式定理3若函数F(x)是连续函数f (x)在区间a,b上的一个原函数，则f bff 心心J f (x)dx = F(b) 一 F(a).(3.6)公式(3.4)称为牛顿一莱布尼茨公式.5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1设函数f (x)在闭区间a,b上连续，函数x = p(t)满足条件：(1) 中(a) = a,中(p) = b,且a p(t) 0, b 0, c 0)(1.4)a 2b 2c 2椭圆抛物面z = F + F ( 与0同号)2 p 2q双曲抛物面x 2y 2 + = z ( p 与 q 同号) 2p2qX 2V 2z 2单叶双曲面一 + 匕一一 =1 (a 0,b 0,c 0)a 2b 2c 2X 2V 2z 2双叶双曲面一 一二 + = 一1 (a 0,b 0,c 0) a2b2c2X 2V 2z 2二次锥面+ 一 = 0 (a 0