2019届 北师大版数学精品资料24 & 2.5曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程对应学生用书P12曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)互化的前提条件：极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x轴的正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位(2)互化公式：(3)圆锥曲线统一的极坐标方程为：.1和1是同一个圆的极坐标方程，那么，该圆对应的直角坐标方程也有两个吗？提示：唯一的一个，x2y21.对应学生用书P13将直角坐标方程化成极坐标方程例1把下列直角坐标方程化为极坐标方程(1)xy0；(2)x2y22ax0(a0)；(3)(x5)2y225.思路点拨本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此题，需要将xcos ，ysin ，及x2y22代入直角坐标方程，再化简即可精解详析(1)将xcos ，ysin 代入xy0得cos sin 0，(cos sin )0.cos sin 0.sin cos .tan 1.(0)和(0)综上所述，直线xy0的极坐标方程为(0)和(0)(2)将xcos ，ysin 代入x2y22ax0得2cos22sin22acos 0，即(2acos )0.2acos .圆x2y22ax0(a0)的极坐标方程为2acos .(3)(x5)2y225，即：x2y210x0.把x2y22，xcos 代入上式得：210cos 0.即0或10cos .极点0在圆10cos 上，所求圆的极坐标方程为10cos .将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将xcos ，ysin ，x2y22代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性1把圆的直角坐标方程(xa)2(yb)2r2化为极坐标方程解：把xcos ，ysin 代入方程(xa)2(yb)2r2，得(cos a)2(sin b)2r2.如果设圆心(a，b)的极坐标为(0，0)，则a0cos 0，b0sin 0，再代入上方程可得：(cos 0cos 0)2(sin 0sin 0)2r2.2(cos2sin2)20(cos cos 0sin sin 0)(cos20sin20)r2.220cos(0)r20.这就是所求的圆的极坐标方程.把极坐标方程化为直角坐标方程例2将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线(1)sin 1；(2)(cos sin )40；(3)2cos ；(4)cos 2sin .思路点拨本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想的应用，解答此题需要利用cos x，sin y求解有时需要在等式两边同乘，构造出cos 和sin .精解详析(1)sin 1y1，表示的是一条直线(2)(cos sin )40cos sin 40，xy40，表示的是一条直线(3)2cos 两边同乘以得22cos ，x2y22x0，即(x1)2y21.表示的是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆(4)cos 2sin 两边同乘以得2cos 2sin ，x2y2x2y，即x2y2x2y0，即2(y1)22.表示的是以为圆心，半径为的圆极坐标方程化为直角坐标方程时，往往需要将原极坐标方程两边同乘以，尽可能使得cos 换成x，sin 换成y，2换成x2y2.但注意0是原方程的解时，所得到的直角坐标方程与原极坐标方程等价若0不是原方程的解时，求得的直角坐标方程，还需加x，y不同时为0的限制2把下列极坐标方程化为直角坐标方程(1)2cos 28；(2)2cos.解：(1)因为2cos 28，所以2cos22sin28.所以化为直角坐标方程为x2y28.(2)因为2cos cos2sin sincos sin ，所以2cos sin .所以化为直角坐标方程为x2y2xy0.极坐标方程与直角坐标方程互化的应用例3求两个圆4cos ，4sin 的圆心之间的距离，并判定两圆的位置关系思路点拨本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题，解答此题可以在极坐标系下求解，也可以转化为直角坐标系下的距离及位置关系问题求解精解详析法一：4cos 的圆心为(2,0)，半径为2，4sin 的圆心为(2，)，半径为2.两圆圆心的距离为d 2.而两圆半径之和为4，两圆半径之差为0.两圆相交法二：4cos 两边同乘以得24cos ，4cos 可化为x2y24x0，即(x2)2y24，表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆4sin 两边同乘以得24sin ，4sin 可化为x2y24y0，即x2(y2)24，表示的是以(0,2)为圆心，半径为2的圆两圆的圆心距为d2，两圆半径之和为4，之差为0，两圆相交对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究3已知直线的极坐标方程为sin，求点A到这条直线的距离解：把点A化为直角坐标为(，)把直线sin化为直角坐标方程为sin coscos sin，即xy，xy1.点A(，)到直线xy10的距离为d，故点A到直线sin的距离为.本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与直角坐标方程的互化考题印证(辽宁高考改编)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos ()2 .求C1与C2的交点的极坐标命题立意本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化自主尝试由，cos x，sin y得，圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40，由解得所以圆C1，直线C2的交点直角坐标为(0,4)，(2,2)，再由，cos x，sin y，将交点的直角坐标化为极坐标，.所以C1与C2的交点的极坐标，.对应学生用书P14一、选择题1将方程(0)化为直角坐标方程为()AyxByx(x0)Cyx(x0) Dyx(x0)解析：选Btan(x0)，1(x0)yx.而(0)表示射线，所求的直角坐标方程为yx(x0)2圆心在点(1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是()A2(sin cos ) B2(cos sin )C2sin D2cos 解析：选A如图所示，圆的半径为，圆的直角坐标方程为(x1)2(y1)22，即x2y22(xy)，化为极坐标方程，得22(cos sin )，即2(sin cos )3直线l1：sin()a和l2：的位置关系是()Al1l2 Bl1l2Cl1和l2重合 Dl1和l2斜交解析：选B对于l1可化为xsin ycos a，k1，对于l2可化为xcos ysin 0，k2，k1k21.l1l2，故选B.4极坐标方程sin 2cos 表示的曲线为()A直线 B圆C椭圆 D双曲线解析：选B由sin 2cos ，得2sin 2cos .x2y2y2x，即x2y22xy0，表示圆二、填空题5直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长为_解析：直线的方程为2x1，圆的方程为x2y22x0，圆心为(1,0)，半径r1，圆心到直线的距离为d，设所求的弦长为l，则1222，解得l.答案：6在极坐标系中，定点A(1，)，点B在直线l：cos sin 0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_解析：将cos sin 0化为直角坐标方程为xy0，点A化为直角坐标得A(0,1)，如图，过A作AB直线l于B，因为AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|1，则|OB|，故B点的极坐标是B.答案：7过极点O作圆C：8cos 的弦ON，则ON的中点M的轨迹方程是_解析：法一：如图，圆C的圆心为C(4,0)，半径为|OC|4，连接CM.M为弦ON的中点，CMON，故M在以OC为直径的圆上点M的轨迹方程是4cos .法二：设M点的坐标是(，)，N(1，1)N点在圆8cos 上，18cos 1，M是ON的中点，将它代入式得28cos ，故点M的轨迹方程是4cos .答案：4cos 8(天津高考)已知圆的极坐标方程为4cos ， 圆心为C, 点P的极坐标为，则CP_.解析：如图，由圆的极坐标方程为4cos 知OC2，又因为点P的极坐标为，所以OP4，POC，在POC中，由余弦定理得CP2OP2OC22OPOCcos16424212，所以CP2.答案：2三、解答题9O1和O2的极坐标方程分别为2cos ，22(cos sin )0.(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程解：(1)xcos ，ysin ，由2cos 得22cos ，所以x2y22x.即x2y22x0为O1的直角坐标方程同理x2y22x2y0为O2的直角坐标方程(2)法一：由解得即O1，O2交于点(0,0)和(2,0)过交点的直线的直角坐标方程为y0.法二：得y0，即y0为过O1，O2交点的直线的直角坐标方程10在直角坐