2.1 PID控制器数字化 2.1.1 模拟PID控制器 按照偏差的比例、积分和微分进行控制的调节器简称PID调节器。PID控制是过程控制中应用最广泛的一种控制规律。而且，用计算机来实现PID控制的算法也在相应地展，出现了非线性PID、选择性PID以及增益自适应PID算法等。然而，这些算法都是基于PID基本算法而发展起来的。众所周知，PID控制器的理想化方程为： （2-1）式中，e(t)控制器输入信号，一般为输入信号与反馈信号之差；u(t)控制器输出信号，一般为给予受控对象的控制信号；Kp控制器放大系数；Ti控制器积分时间常数；Td控制器微分时间常数。式（2-1）为时域内互不影响的控制规律。“互不影响”是指当改变一个控制作用参数（如Kp，Ti或Td）时，只影响一个调节作用，而不影响其他两个调节作用。2.1.2 PID控制算法的数字实现 计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的误差值计算控制变量u。因此模拟PID控制算法公式中的积分项和微分项不能直接准确地计算，只能用数值计算的方法逼近。图2-1 单片微机闭环控制系统框图动画讲解图片说明 为了用计算机实现PID控制规律，当采样时间T很小时，可以通过离散化，将这一方程直接化为差分方程。为此用一阶差分代替一阶微分，用累加代替积分。这时可用矩形或梯形积分来作为连续积分的近似值。用矩形积分时得：（2-2）式中，T采样周期。这是控制算法的一种非递推公式。按照式（2-2）计算u(k)不仅需要用到本次与上次采样的输入值e(k)和e(k-1)，而且还需要用到e(0)到e(k)的所有值。当k很大时，要占用很大内存，且要花费计算机大量的时间去计算。因此，直接使用式（2-2）计算是很不方便的。为此，应把它化成递推公式。由于结果是控制量的绝对值u(k)，故这种算法有时称为“位置算法”。根据式（2-2）可写出k-1次采样的输出为： （2-3）（2-4）式中， 因此，按式（2-4）计算k次采样的数字控制器的输出u(k)，只需用到本次偏差e(k)，前两次偏差e(k-1)和e(k-2)以及计算的输出值u(k-1)。在许多情况下，DDC系统控制信号是控制步进电机的，为了增加可靠性，常采用增量式PID控制规律，即只计算控制量的变化量，即：（2-5）我们将位置式算法和增量式算法的控制方框图示于图2-2。由图2-2可见，对整个系统而言，这两种算法无本质区别。增量式控制的优点： 计算机只输出增量，误差动作影响小； 算式中不需要累加，增量值与最近几次采样值有关； 当出现任何故障或者进行切换时，冲击较小。 图2-2 位置式或增量式算法块图动画讲解图片说明如果用梯形积分形式逼近连续积分，则得： （2-6）（2-7）式中， 因此，如果已知模拟PID控制器参数Kp，Ti和Td，那么在采样时间很短的情况下，可以从Kp，Ti和Td计算出参数q0，q1和q2。