导数与函数的零点专题考点一判断零点的个数【例1】(2019 青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为一4,且关于x的不等式f(x)wo的解集为x|-K x0 时，f (x) 2 a+ aln ：.【训练3】(2019 天津和平区调研 )已知函数f(x) = ln x-x- n(m- 2, m为常数).1(1)求函数f(x)在.e的最小值； e(2)设x1, x2是函数f(x)的两个零点，且 x1x2,证明：x1 , x21.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟)-、选择题A.1B.2C.3D.4二、填空题2 .直线x=t分别与函数f(x) = ex+1的图象及g(x) = 2x1的图象相交于点 A和点B,则| AB的最小值为AX A. . .3 .若函数f(x) =+1但0),讨论函数g(x)=f (x)x零点的个数. x3【能力提升题组】(建议用时：25分钟)6 .(2018 江苏卷改编)若函数f(x) =2x3ax2+1(aCR)在区间(0, + 8)内有且只有一个零点，求f (x)在1, 1上的最大值与最小值的和.7 .已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.(1)当a= 1时，求f(x)的单调递增区间；1(2)当 一ae时,若f(x)在区间(0 , e)上的最大值为3,求a的值;(3)当a=1时，试推断方程|f(x)|是否有实数根.x 2答案【例1】(2019 青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为一4,且关于x的不等式f(x)wo的解集为x|-K x3, xC R.(1)求函数f(x)的解析式； f (x)一一，.(2)求函数g(x) =4ln x的零点个数.x【答案】见解析【解析】(1)f(x)是二次函数，且关于 x的不等式f(x)0.f ( x) min= f (1) =4a= 4, a= 1.故函数f(x)的解析式为f (x) = x2 2x 3.x2-2x-33(2)由(1)知 g(x) = 4ln x = x-4ln x-2,xx.3 4 (x-1)( x-3).一g(x)的te乂域为(0 , +8), g (x)= 1 +一x=x，令 g (x)= 0,得x1=1,x2= 3.当x变化时，g (x), g(x)的取值变化情况如下表:X(0,1)1(1， 3)3(3 , +0)g (x)十0一0十g(x)极大值极小值当 0xw3 时，g(x)wg(1) =-43 时，g(e5) =e52202251 22= 90. e又因为g(x)在(3 , +)上单调递增，因而g(x)在(3 , 十00)上只有1个零点，故g( x)仅有1个零点.【规律方法】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 构建函数g(x)(要求g (x)易求，g (x)=0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数.(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极 值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.【训练1】 已知函数f(x)=ex-1, g(x)=，X+x,其中e是自然对数的底数，e=2.718 28.(1)证明：函数h(x) = f (x) -g(x)在区间(1 , 2)上有零点;(2)求方程f(x) = g(x)的根的个数，并说明理由.【答案】见解析【解析】(1)证明 由题意可得h(x) =f(x) -g(x) = ex - 1-/x-x,所以 h(1) =e-30,所以 h(1) h(2)0,因此(J)(x)在(0, +oo)上单调递增，易知6(x)在(0, +8)内至多有一个零点，即h(x)在0 , +8)内至多有两个零点，则h(x)在0 , +8)上有且只有两个零点，所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2.考点二已知函数零点个数求参数的取值范围【例2】 函数f (x) = ax+xln x在x = 1处取得极值.求f(x)的单调区间；(2)若y=f(x) mn 1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)函数f (x) = ax+ xln x的定义域为(0 ,+8).f ( x) = a+ In x+ 1,因为 f (1) = a+ 1 = 0,解得 a = - 1,当 a= 1 时，f(x) = x + xln x,即 f (x) = In x,令 f (x)0 ,解得 x1;令 f ( x)0 ,解得 0x- 1,即n-2,当 0xe 时，f(x)=x(1+ln x)e 时，f(x)0.当 x0 且 x-O 时，f(x)-0;当 x一十 0 时，显然 f(x)- 十 oo.由图象可知，10,即nr1,由可得2n0,当a0时，f (x)0, f(x)在R上是增函数，当 x1 时，f (x) = ex+a( x1)0 ；当x0时，取x=- a则 f - 1 + a -1 =- a0. aa所以函数f(x)存在零点，不满足题意.当 a0 时，令 f (x)=0,得 x=ln( -a).在(一00,底a)上，(x)0 , f (x)单调递增，所以当x=ln( a)时，f(x)取最小值.函数 f (x)不存在零点，等价于 f(in( -a) =en( a) + aln( -a) -a=- 2a+aln( -a)0 ,解得一e2a0 时，f (x) 2 a+ aln 一. a【答案】见解析【解析】(1)解 f(x)的定义域为(0, +8), f (x) = 2e2x a(x0).x当a0 , f (x)没有零点；当a0时，因为y=e2x单调递增，y=a单调递增， x所以f (x)在(0, +8)上单调递增., , , “一 a , 一 1,又f ( a)0 ,假设存在b满足0b;时，且b, f (b)0时，f (x)存在唯一零点.(2)证明 由(1),可设f (x)在(0 , +8)上的唯一零点为 x。，当 xC (0 , X0)时，f ( x)0.故f(X)在(0 , x0)上单调递减，在(x0, +8)上单调递增，所以当x = x0时，f(x)取得最小值，最小值为 f(x).由于 2e2x0= 0,x0所以 f (x) = ；a-+2ax0+aln -2 a + aln -.2x0aa故当 a