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衡水万卷周测(十三)理科数学数列综合题考试时间:120分钟姓名:_班级:_考号:_题号一二三总分得分一 、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)数列的一个通项公式为( )A. B. C. D. 等比数列的前项和为,已知,则( ) (A) (B) (C) (D)(2015北京高考真题)设是等差数列. 下列结论中正确的是( )A若,则 B若,则C若,则 D若,则如果自然数的各位数字之和等于8,我们称为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列,若,则( )A. 84 B。82 C。39 D。37在数列中,(),则值为( )A. B. C. D. 无法确定若等差数列满足,则的最大值为 ( ) A60 B50 C 45 D40已知实数等比数列公比为,其前项和为,若、成等差数列,则等于( ) A B1 C或1 D设为等比数列的前项和,已知,则公比 ( )A B C D已知an为等比数列,下面结论中正确的是()Aa1a32a2Baa2a C若a1a3,则a1a2D若a3a1,则a4a2数列是正项等比数列,是等差数列,且,则有 ( )A B C D与大小不确定设是等差数列,是其前n项和,且,则下列结论错误的是( ) A B C D和均为的最大值在数列中,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,()则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )(A)18 (B)28 (C)48 (D)63二 、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)已知等差数列an的首项为3,公差为4,则该数列的前n项和Sn= 设直线(k+1)x+(k+2)y-2=0与两坐标轴围成的三角形面积为,则 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为 (2015上海模拟)数列an的通项公式an=,前n项和为Sn,则= 三 、解答题(本大题共6小题,第1题10分,后5题每题12分,共70分)设不等式组所表示的平面区域,记内整点的个数为(横纵坐标均为整数的点称为整点)。 (1)式,先在平面直角坐标系中做出平面区域,在求的值; (2)求数列的通项公式; (3)记数列的前n项和为,试证明:对任意,恒有 成立。设数列an的首项a1为常数,且an+1=3n2an(nN+)(1)证明:an是等比数列;(2)若a1=,an中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存在说明理由(3)若an是递增数列,求a1的取值范围已知数列满足, (1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,求. (3)证明:. 在数列 中,已知 ,为常数. (1)证明: 成等差数列; (2)设 ,求数列 的前n项和 ;(3)当时,数列 中是否存在三项 成等比数列,且也成等比数列?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.各项为正数的数列的前n项和为,且满足:(1)求;(2)设函数求数列(2015陕西高考真题)设是等比数列,的各项和,其中,(I)证明:函数在内有且仅有一个零点(记为),且;(II)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为,比较与的大小,并加以证明衡水万卷周测(十三)答案解析一 、选择题C C【答案】C【解析】试题分析:先分析四个答案支,A举一反例0而A错误,B举同样反例0,B错误,下面针对C进行研究,是等差数列,若00,设公差为d,则d0,数列各项均为正,由于,则,选C。考点:1.等差数列通项公式;2.作差比较法【答案】A【解析】由题意,一位数时只有8一个;二位数时,有17,26,35,44,53,62,71,80共8个三位数时:(0,0,8)有1个,(0,1,7)有4个,(0,2,6)有4个,(0,3,5)有4个,(0,4,4)有2个,(1,1,6)有3个,(1,2,5)有6个,(1,3,4)有6个,(2,2,4),有3个,(2,3,3)有3个,共1+43+2+33+62=36个,四位数小于等于2015:(0,0,1,7)有3个,(0,0,2,6)有2个,(0,1,1,6)有6个,(0,1,2,5)有7个,(0,1,3,4)有6个,(1,1,1,5)有3个,(1,1,2,4)有6个,(1,1,3,3)有3个,(1,2,2,3)有3个,共有34+63+2+7=39个数,小于等于2015的一共有1+8+36+39=84个,即a84=2015【思路点拨】利用“吉祥数”的定义,分类列举出“吉祥数”,推理可得到结论【解】由,()可知,当时,所以;当时,有,由-式得,即,且所以(),同除以得,且;所以,故令时,得,故选A.【答案】B解析:设等差数列的公差为,因为,所以而,可得,代入整理得由关于d的二次方程有实根可得化简可得,解得,故选择B.【思路点拨】设等差数列的公差为,易得由求和公式可得,代入整理可得关于的方程,由可得S的不等式,解不等式可得【答案】A解析:因为、成等差数列,所以,若公比,所以,当时,可得,整理可得:,故选择A.【思路点拨】根据等差数列的性质列的,当公比,等式不成立,当时,再根据等比数列的求和公式进行化简即可得到,BB【答案】B 解析:an=a1qn-1,bn=b1+(n-1)d,a6=b7 ,a1q5=b1+6d,a3+a9=a1q2+a1q8 , b4+b10=2(b1+6d)=2b7=2a6,a3+aa6=a1q2+a1qa1q5=a1q8a1q5(a1q5a1q2)=a1q2(q)20,所以a3+a9b4+b10,故选B.【思路点拨】先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出a6、b7,然后表示出a3+a9和b4+b10,然后二者作差比较即可.CA.二 、填空题分析:由题意代入等差数列的求和公式可得解答:由题意可得a1=3,公差d=4,Sn=na1+d=3n+2n(n1)=2n2+n故答案为:2n2+n点评:本题考查等差数列的求和公式,属基础题【答案】【解析】令y=0,得x= ,令x=0,得y=,所以所以2=2=【思路点拨】得求和。1 解析:因为,所以在x=1处的切线斜率为n+1,则切线方程为y1=(n+1)(x1),令y=0得,所以.【思路点拨】遇到数列求和,可先由已知条件求出其通项公式,再结合通项公式特征确定求和思路.【分析】: 先利用裂项相消法求出Sn,再求极限即可【解析】: 解:Sn=1+=1+=,则=故答案为:【点评】: 本题考查数列极限的求法,属中档题,解决本题的关键是先用裂项相消法求和,再利用常见数列极限求解三 、解答题解:(1)D2如图中阴影部分所示,在48的矩形区域内有59个整点,对角线上有5个整点,a2=25(另解:a2=1+3+5+7+9=25)(2)直线y=nx与x=4交于点P(4,4n),据题意有an=10n+5(另解:an=1+(n+1)+(2n+1)+(3n+1)+(4n+1)=10n+5)(3)Sn=5n(n+2)(8分)=,+=(+)=(+)(13分)【思路点拨】(1)在48的矩形区域内有59个整点,对角线上有5个整点,可求a2的值;(2)直线y=nx与x=4交于点P(4,4n),即可求数列an的通项公式;(3)利用裂项法,放缩,求和即可证明结论分析: (1)根据等比数列的定义,结合条件,即可得证;(2)由(1)求出数列an的通项公式,再由等差数列的性质,得到方程,求出n,即可判断;(3)运用数列an的通项公式,作差,再由n为偶数和奇数,通过数列的单调性,即可得到范围解答: (1)证明:因为=2,所以数列an是等比数列;(2)解:an是公比为2,首项为a1=的等比数列通项公式为an=+(a1)(2)n1=+若an中存在连续三项成等差数列,则必有2an+1=an+an+2,即解得n=4,即a4,a5,a6成等差数列 (3)解:如果an+1an成立,即+(a1)(2)n1对任意自然数均成立化简得,当n为偶数时,因为是递减数列,所以p(n)max=p(2)=0,即a10; 当n为奇数时,因为是递增数列,所以q(n)min=q(1)=1,即a11;故a1的取值范围为(0,1)点评: 本题考查数列的通项公式及等比数列的证明,考查等差数列的性质和已知数列的单调性,求参数的范围,考查运算能力,属于中档题和易错题【解析】(1)由得,即,(2分) (4分)即,, 所以 (5分)(2) (6分) (7分)得 (8分) (10分)(3)证明:,k=2,3,4,n. (11分). (12分) (13分) (14分) (1) 见解析;(2) 当,当(3)不存在三项成等比数列,且也成等比数列 解析:(1)因为,所以,同理, 2分又因为,3分所以,
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