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四年级加乘原理进阶主要内容及解题思路一、基本知识n 加法原理 任取其一,造句:要么.,要么.n 乘法原理 缺一不可,造句:既要.,又要.二、 题型n 搭配问题n 路线问题n 排队问题n 组数问题n 填数问题n 染色问题-重要n 旗帜问题-重要三、 基本知识点加法原理 做一件事有几类方法,每一类中任何一种方法都可以独立完成任务,只要将每一类的选择数依次相加,即可得到总的选择数。例超市的泡面按品牌分为三类:康师傅、今麦郎和统一;而康师傅的有4种口味,今麦郎有2种,统一有3种,则买一包泡面不同的选择方式有:4+2+3=9(种)总结:加法分类,类类独立。乘法原理 做一件事需要分成几步,每一步不能独立完成任务,但互相关联,缺一不可,只要将每一步的选择数依次相乘,即可得到总的选择数。例 肯德基买一份套餐可以享受优惠,套餐包含一个汉堡,一份小吃,一份饮料;共有3种汉堡,5种小吃,4种饮料,则共有不同的套餐选择数:354=60(种)总结:乘法分步,步步相关。四、 典型问题解决-先分类,后分步例 (路线问题)小明要从A地去C地,从A直接到C有3条不同的线路;也可以从A地先到B地,再由B地到C地,从A到B有4条不同的线路,从B到C有2条不同的线路。则从A地到C地不同的选择数共有:3+24=11(种)加乘原理类问题,可按四个步骤进行思考:1) 需要做什么事情2) 怎样才算完成任务3) 需要分类还是分步4) 用加法还是用乘法1、组数问题需考虑如下几个方面:(1)要组一个几位数(几位就是几步)(2)组数时是否要求数字不重复(要求不重复时后面的选择数变少)(3)组数时有无特殊位置,如首位不为零或要求组奇数、偶数(优先考虑特殊位置)(4)当既要求组奇数,又要考虑首位不为零时,先考虑个位,再考虑首位。特别地,当要组偶数,又要考虑首位不为零时,要进行分类,分为个位是零和个位不是零两种情况去考虑。例 用0,1,2,3,4可以组成多少个无重复数字的三位偶数?首先进行分类:n 个位为零时个位只有1种选择,首位有4种选择,十位剩3种选择,则有143=12(个);n 个位不为零时个位有2种选择,首位有3种选择,十位剩3种选择,则有233=18(个); 总共有12+18=30(个)2、染色问题(要求相邻两块不能染成同色)n 对于直线型如下图所示,我们按从一端染色到另一端即可。例:共四种不同颜色的染料n 对于复杂型如下图,要先染相邻最多的那一块,然后按顺时针或逆时针的次序染色。例:共四种不同颜色染料3、填数问题先分析特殊位置上的数该填多少,有多种填法可分成几类;每一类中剩下的数填时可应用乘法原理分步相乘得出。从1,2,3,4,5中选出4个填入下面四个格中,要求左比右小,上比下小。 先填左上和右下两格,可以有三种填法:(1)左上1,右下4,则剩下两格有21=2(种)填法(2)左上2,右下5,则剩下两格有21=2(种)填法(3)左上1,右下5,则剩下两格有32=6(种)填法 总共2+2+6=10(种)4.旗帜问题(1)如果红、黄两种颜色的旗子各2面,用任意两面旗子来表示一种信号。若采用分类的方法进行统计可以有的信号数,则可分两类:一种颜色:红红、黄黄共2种;两种颜色:红黄、黄红共2种;总共2+2=4(种)若采用分步的方法进行统计,则每面旗都有2种颜色可选:22=4(种)也可以得到结果。【拓】若只有1面红旗,2面黄旗,则只有一种颜色的“红红”是无法摆出的信号,故这时可以有的信号种数为4-1=3(种)(2)如果有3面红旗,3面黄旗,3面蓝旗,用任意三面旗子来表示一种信号。若采用分类的方法进行统计可以有的信号数,可分为三类:一种颜色:红红红、黄黄黄、蓝蓝蓝共3种;两种颜色:红红黄、红红蓝、黄黄红、黄黄蓝、蓝蓝红、蓝蓝黄、红黄黄、红蓝蓝、黄红红、黄蓝蓝、蓝红红、蓝黄黄、红黄红、红蓝红、黄红黄、黄蓝黄、蓝红蓝、蓝黄蓝共18种;(太多了!最好用分步的方法去算出来。可以看成先选一种主色(就是有两面旗的)有3种选法,再选一种辅色(就是一面旗的啦!)有2种选法,而主辅两色可以有3种不同顺序(我只画红为主色黄为辅色的见下图),则共有323=18(种)三种颜色:红蓝黄、红黄蓝、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红共6种;总计:3+18+6=27(种)若采用分步的方法进行统计,则每一面旗子都有3种颜色可选:333=27(种)也可以得到结果。【拓】若只有2面红旗,2面黄旗,3面蓝旗则只有一种颜色的“红红红”和“黄黄黄”是无法摆出的信号,故这时可以有的信号种数为 27-2=25(种)
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