2024年湖南省长沙市长郡教育集团高考三模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则集合（）ABCD2已知复数，则复数z在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为（）A14B15C16D184已知，则（）ABCD5已知向量，若，则（）AB1CD26已知等差数列的前项和为，若，则（）A有最小值25B有最大值25C有最小值50D有最大值507已知三棱锥中，平面，4，3，7，则该三棱锥外接球的表面积为（）ABCD8在平面直角坐标系中，已知圆，若直线上有且只有一个点满足：过点作圆的两条切线，切点分别为，且使得四边形为正方形，则正实数的值为（）A1BC3D7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9下列说法正确的是（）A某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B数据1，3， 4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强D根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.0510瑞士数学家Jakob Bernoulli于17世纪提出如下不等式：，有，请运用以上知识解决如下问题：若，则以下不等式正确的是（）ABCD11若定义在上的连续函数满足对任意的实数都有且，则下列判断正确的有（）A函数的图象关于原点对称B在定义域上单调递增C当时，D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12根据国家“乡村振兴战略”提出的“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”，某师范大学4名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这4名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则不同分配方案的种数为 13如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，则的取值范围为 14如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，(1)求角A.(2)若，所在平面内有一点D满足，且BC平分，求面积的取值范围.16已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为级和级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机若将级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率(1)设临界值时，将1个级品芯片和1个级品芯片分别应用于A型手机和B型手机求两部手机有损失的概率（计算结果用小数表示）；(2)设且，现有足够多的芯片级品、级品，分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产，试估计芯片生产商损失费用的最小值17已知直三棱柱中，分别为和的中点，为棱上的动点，. (1)证明：平面平面；(2)设，是否存在实数，使得平面与平面所成的角的余弦值为?18已知函数(1)判断并证明的零点个数(2)记在上的零点为，求证;（i）是一个递减数列（ii）19已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，直线与双曲线交于两点.(1)若经过点，且，求；(2)若经过点，且两点在双曲线的左支上，则在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由.试卷第5页，共6页学科网（北京）股份有限公司参考答案：1D【分析】利用不等式性质、交集、并集、补集定义求解【详解】由题意，所以.故选：D.2A【分析】先利用复数乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义确定对应点所在的象限.【详解】因为，所以该复数在复平面内对应的点为，在第一象限.故选：A3D【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】将数据从小到大排序可得，共8个样本数据，则上四分位数即第百分位数为，即为.故选：D4A【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解.【详解】.故选：A.5B【分析】先出求，再根据即可得出的值，最后求的模.【详解】由题意可知，因为，所以，又因为，所以，即，解得.所以.故选：B.6B【分析】由，利用等差数列的性质推出，再利用基本不等式计算即得.【详解】由可得，因则等差数列的公差，故，则，当且仅当时取等号，即当时，取得最大值25.故选：B.7B【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案【详解】如图，设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心，在中，由3，7，得，故，设的外接圆的半径为，则，三棱锥外接球的表面积为故选：B8C【分析】根据直线与圆相切得圆心与点的距离，即结合正方形的性质可得符合的点的位置，从而可得结论.【详解】由可知圆心，半径为2，因为四边形为正方形，且边长为圆的半径2，所以，所以直线上有且只有一个点，使得，即，所以圆心到直线的距离为，所以，解得或，又，所以故选：C.9ABD【分析】利用分层抽样计算判断A；求出第75百分位数判断B；利用线性相关系数的意义判断C；利用独立性检验的思想判断D.【详解】对于A，该校高一年级女生人数是，A正确；对于B，由，得第75百分位数为，B正确；对于C，线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误；对于D，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确.故选：ABD10ABC【分析】不妨设，根据选项C的结构构造函数，利用导数研究其单调性，结合题目不等式结论即可判定正确，再根据题目不等式结论证明得及，相加即可判断B正确，结合C判断A正确，得解.【详解】不妨设，先证明C：证明在上单调递减即可.，即要证明，即要证明，因为，得证，所以，即，故选项C正确，D错误；再证明B：，因此，同理，故，且，所以AB正确.故选：ABC【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）利用导数研究的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式11BCD【分析】直接证明，然后逐个判断选项即可.【详解】由知恒成立，再由知恒成立.设，则，且.故，.由于，故.而，故归纳即知.又因为对有，故归纳即知.特别地有，故，所以对有.这就得到了，从而.设有无理数，有理数数列使得，由于是连续的，故，而，故.这就表明.由于，故不是奇函数，故其图象并不关于原点对称，A错误；由于在定义域上单调递增，且当时，故B，C正确；对于D，由可得，从而，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：值得注意的是，如果去掉是连续函数的条件，并承认选择公理，则此时不能说明对无理数，有，且不一定单调递增. 事实上，此时可以构造一个的满足的线性映射，再取，即可得到反例.1236【分析】把4人分成3组，再分配到3所学校即可.【详解】依题意，有2人去同一所学校，所以不同分配方案的种数为.故答案为：3613【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：则，所以，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，综上所述，的取值范围为.故答案为：.14/【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得平面，利用线面垂直的性质可得，进而，由三角形的面积公式可得，即可求解.【详解】在中，则，又平面，平面平面，所以平面，连接，所以，得，设（），则，即，得，当即即时，取到最小值1，此时取到最小值.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用勾股定理和三角形面积公式计算得到、，而，即为所求.15(1)(2)【分析】（1）由两角和的正切公式结合题意化简得，即可得解；（2）设，由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式得，结合导数求解即可.【详解】（1）由题，即，即，所以，即，所以，又，所以.（2）由题（1）知，又，设，由中，故，则，由正弦定理有，则，故面积，令，则，又，所以，知函数在上单调递增，又，故面积的取值范围为.16(1)0.163(2)136万元【分析】（1）根据频率分布直方图，I级品中该指标小于或等于60的频率和II级品中该指标大于60的频率，即可求解；（2）由题意分别计算A、B型手机的损失费用可得，结合一次函数的性质即可求解.【详解】（1）临界值时，I级品中该指标小于或等于60的频率为，II级品中该指标大于60的频率为0.1，故将1个I级品芯片和1个II级芯片分别应用于A型手机和B型手机，两部手机有损失的概率为：；（2）当临界值时，I级品中该指标小于或等于临界值的概率为，可以估计10000部A型手机中有部手机芯片应用错误；II级品中该指标大于临界值的概率为，可以估计10000部B型手机中有部手机芯片应用错误；故可以估计芯片生产商的损失费用又，所以，即芯片生产商损失费用的最小值为136万元.17(1)证明见解析；(2)存在.【分析】（1）先用线面垂直的判定定理证明平面，再使用面面垂直的判定定理即可；（2）使用空间向量法直接求解两平面的夹角（用表示），再根据夹角条件，解关于的方程即可.【详解】（1）由于在直三棱柱中，有平面，而在平面内，故.同时有，且，故.由于，且和在平面内交于点，故平面.由于在平面内，故.