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9.5 直线与圆的综合应用一、填空题1.若圆的圆心到直线x-y+a=0的距离为则a的值为_ 解析 圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得化简得|a-1|=1,解得a=0或a=2. 2直线yx绕原点按逆时针方向旋转30,则所得直线与圆(x2)2y23的位置关系是_解析由题意可得旋转30后所得直线方程为yx,由圆心到直线距离可知是相切关系答案相切3若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1,则半径r的取值范围为_解析由圆心(3,5)到直线的距离d5,可得4r6.答案(4,6)答案2或0 4已知直线axbyc0与圆O:x2y21相交于A,B两点,且AB,则_.解析由题可知AOB120,所以|cos 120.答案5已知x,y满足x2y24x6y120,则x2y2最小值为_解析法一点(x,y)在圆(x2)2(y3)21上,故点(x,y)到原点距离的平方即x2y2最小值为(1)2142.法二设圆的参数方程为则x2y2144cos 6sin ,所以x2y2的最小值为14142.答案1426若直线yxb与曲线x恰有一个交点,则实数b的取值范围是_解析 利用数形结合的方法,曲线x表示在y轴右侧的半个单位圆(含边界),直线yxb表示斜率为1,在y轴上截距为b的直线,注意到b1时有两个交点及b时直线与圆相切,所以实数b的取值范围是1b1,b.答案 1b1,b7已知曲线C:(x1)2y21,点A(2,0)及点B(3,a),从点A观察点B,要使视线不被曲线C挡住,则实数a的取值范围是_解析设过A点的C的切线是yk(x2),即kxy2k0.由1,得k.当x3时,y5k.答案8设圆x2y21的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B,则线段AB长度的最小值为_解析 设切点为D,OAB,则连接OD知ODAB,从而得到AD,BD,所以线段AB,则线段AB长度的最小值为2.答案 29圆C:x2y22x2y20的圆心到直线3x4y140的距离是_解析圆心为(1,1),它到直线3x4y140的距离d3.答案310如果圆C:(xa)2(ya)218上总存在两个点到原点的距离为,则实数a的取值范围是_解析由题意,圆C上总存在两个点到原点的距离,即圆C与以O为圆心,半径为的圆总有两个交点,即两圆相交,所以有|3|CO|3,即2|a|4,解得4a2或2a4.答案(4,2)(2,4)11若直线mxny4和圆O:x2y24没有公共点,则过点(m,n)的直线与椭圆1的交点个数为_解析由题意可知,圆心O到直线mxny4的距离大于半径,即得m2n24,所以点(m,n)在圆O内,而圆O是以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆,故点(m,n)在椭圆内,因此过点(m,n)的直线与椭圆必有2个交点答案212若过点A(0,1)的直线l与曲线x2(y3)212有公共点,则直线l的斜率的取值范围为_解析该直线l的方程为ykx1,即kxy10,则由题意,得d2,即k2,解得k或k.答案13直线l:axby80与圆C:x2y2axby40(a,b为非零实数)的位置关系是_解析圆的标准方程为224,且40,即a2b216,圆心C到直线axby80的距离dr(r是圆C的半径,则直线与圆相交)答案相交二、解答题14已知方程x2y22x4ym0.(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x2y40相交于M,N两点,且OMON(O为坐标原点),求实数m的值;(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程解析(1)原圆的方程可化为(x1)2(y2)25m,所以m5.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x142y1,x242y2,则x1x2168(y1y2)4y1y2.因为OMON,所以x1x2y1y20,所以168(y1y2)5y1y20,由得5y216ym80,所以y1y2,y1y2,代入得m.(3)以MN为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0,即x2y2(x1x2)x(y1y2)y0.所以所求圆的方程为x2y2xy0.15如图,已知圆心坐标为(,1)的圆M与x轴及直线yx分别相切于A、B两点,另一圆N与圆M外切,且与x轴及直线yx分别相切于C、D两点(1)求圆M和圆N的方程;(2)过点B作直线MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度解析(1)由于M与BOA的两边均相切,故M到OA及OB的距离均为M的半径,则M在BOA的平分线上,同理,N也在BOA的平分线上,即O,M,N三点共线,且OMN为BOA的平分线M的坐标为(,1),M到x轴的距离为1,即M的半径为1,则M的方程为(x)2(y1)21,设N的半径为r,其与x轴的切点为C,连接MA、NC,由RtOAMRtOCN可知,OMONMANC,即r3,则OC3,故N的方程为(x3)2(y3)29.(2)由对称性可知,所求的弦长等于点过A的直线MN的平行线被N截得的弦长,此弦的方程是y(x),即xy0,圆心N到该直线的距离d,则弦长为2.16.已知圆满足:截y轴所得弦长为2;被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为31;圆心到直线l:x-2y=0的距离为.求该圆的方程. 解析 设圆的方程为. 令x=0,得. |得, 令y=0,得|=得. 由,得. 又因为圆心(a,b)到直线x-2y=0的距离为得即. 综上,可得 或 解得 或 于是. 所求圆的方程为或. 17如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M、N均在直线x5上,圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为13,圆弧C2过点A(29,0)(1)求圆弧C2的方程;(2)曲线C上是否存在点P,满足PAPO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由;(3)已知直线l:xmy140与曲线C交于E、F两点,当EF33时,求坐标原点O到直线l的距离解析(1)圆弧C1所在圆的方程为x2y2169.令x5,解得M(5,12),N(5,12)则线段AM的中垂线的方程为y62(x17)令y0,得圆弧C2所在圆的圆心为O2(14,0),又圆弧C2所在圆的半径为r2291415,所以圆弧C2的方程为(x14)2y2225(x5)(2)假设存在这样的点P(x,y),则由PAPO,得x2y22x290.由解得x70(舍)由解得x0(舍)综上知这样的点P不存在(3)因为EF2r2,EF2r1,所以E、F两点分别在两个圆弧上设点O到直线l的距离为d.因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0),所以EF15,即18,解得d2.所以点O到直线l的距离为.18如图,在平面直角坐标系xOy中,已知F1(4,0),F2(4,0),A(0,8),直线yt(0t8)与线段AF1,AF2分别交于点P,Q.(1)当t3时,求以F1,F2为焦点,且过PQ中点的椭圆的标准方程;(2)过点Q作直线QRAF1交F1F2于点R,记PRF1的外接圆为圆C.求证:圆心C在定直线7x4y80上解析 (1)当t3时,PQ中点为(0,3),所以b3,又椭圆焦点为F1(4,0),F2(4,0),所以c4,a2b2c225,所以椭圆的标准方程为1.(2)证明因为Q在直线AF2:1上,所以Q.由P与Q关于y轴对称,得P,又由QRAF1,得R(4t,0)设PRF1的外接圆方程为x2y2DxEyF0,则有解得所以该圆的圆心C满足748880,即圆心C在直线7x4y80上
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