武汉大学20072008学年第二学期微积分（216学时）考试试题（A卷）一、（36分）试解下列各题：1、 在两边向量为的中，求边上的高；2、 求通过直线且切于球面的平面方程；3、 求曲线在点处的切线和法平面方程；4、设都是由定义，求；5、交换积分次序；6、计算二重积分，其中 。二、（10分）求函数的极值。三、（12分）设函数具有连续导数，曲线积分与路径无关, 1、求满足条件的函数； 2、计算的值。四、（12分）证明级数收敛，并求其和。五、（15分）设有二元函数，1、求函数的二阶偏导数；2、求曲线积分,其中为位于第一象限部分。六、（15分）试求向量穿过由所围成区域的外侧面（不包含上、下底面）的流量。武汉大学20072008学年第二学期微积分（A卷）（总学时216）考试试题参考解答一、解：1、的面积为:,又,故2、通过直线的平面束方程为： （1）欲使平面（1）切于球面，则球心到此平面的距离为，即 代入（1）得所求平面方程为： 3、对方程组两边分别对求导，得，将代入得， 解得，故得法向量为：。 故切线方程为：。 法平面方程为：，即。 4、由隐函数求导法则有：，所以 5、由已知得：，所以，原式6、二、解： 又求二阶导数： 在点处，故为所求极小值。三、解：1、由 且 得 解得：由，得： 所以 2、 四、解：级数可写为，由 故级数收敛。 作函数级数此级数的收敛区间为，两边积分，有： 将上式两边微分得： 故五、解：1、当时，所以2、六、解： 补充有向平面方向分别向下和上，记为圆台外侧，法向向外，是由 所围成的闭区域，为的边界曲面的外侧，则所求流量为： 所以1