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精编北师大版数学资料18平面向量数量积习题课时间:45分钟满分:80分班级_姓名_分数_一、选择题:(每小题5分,共5630分)1已知平面向量a(1,3),b(4,2),ab与a垂直,则()A1B1C2 D2答案:A解析:a(1,3),b(4,2),ab(1,3)(4,2)(4,32),ab与a垂直,4(3)(32)0,1,故选A.2设向量a,b均为单位向量,且|ab|1,则a与b的夹角为()A. B.C. D.答案:C解析:|ab|1,|a|22ab|b|21,cosa,b,ab.3已知向量a(3,4),b(6,t),若a与b的夹角为锐角,则实数t的取值范围是()A(8,)B.C.D.(8,)答案:D解析:由题意,得ab0,即184t0,解得t.又当t8时,两向量同向,应去掉,故选D.4如图,在四边形ABCD中,B120,C150,且AB3,BC1,CD2,则AD的长所在的区间为()A(2,3) B(3,4)C(4,5) D(5,6)答案:C解析:由向量的性质,知,其中与的夹角为60,与的夹角为30,与的夹角为90,于是|2|2|2|2|22229142312120172(16,25),所以AD(4,5)5在ABC中,ABBC4,ABC30,AD是边BC上的高,则的值等于()A0 B4C8 D4答案:B解析:因为ABC30,AD是边BC上的高,所以BAD60,AD2,则()24cos1204,所以选B.6已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(ac)(bc)0,则|c|的最大值是()A1 B2C. D.答案:C解析:由(ac)(bc)0得ab(ab)cc20,即c2(ab)c,故|c|c|ab|c|,即|c|ab|,故选C.二、填空题:(每小题5分,共5315分)7已知向量a,b满足b(1,),b(ab)3,则向量a在b方向上的投影为_答案:解析:2且由b(ab)3,解得ab1,所以a在b方向上的投影为:cos.8ABO三顶点坐标为A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点,满足0,0,则的最小值为_.答案:3解析:(x1,y)(1,0)x10,x1.x1,(x,y2)(0,2)2(y2)0,y2.(x,y)(1,2)2yx3.9已知向量a(1,1),b(1,1),设向量c满足(2ac)(3bc)0,则|c|的最大值为_.答案:解析:设c(x,y),则由题意得(2x)(3x)(2y)(3y)0,即(x)2(y)2,所以|c|的最大值为直径.三、解答题:(共35分,111212)10已知在四边形ABCD中,a,b,c,d,且abbccdda,判断四边形ABCD的形状解析:在四边形ABCD中,四个向量顺次首尾相接,则其和向量为零向量,故有abcd0,ab(cd),(ab)2(cd)2,即|a|22ab|b|2|c|22cd|d|2.又abcd,|a|2|b|2|c|2|d|2.同理有|a|2|d|2|c|2|b|2,由可得|a|c|,|b|d|,即此四边形两组对边分别相等故四边形ABCD为平行四边形另一方面,由abbc,有b(ac)0,由平行四边形ABCD得ac,代入上式得b(2a)0,即ab0,故有ab,即ABBC.综上,四边形ABCD是矩形11已知在ABC中,(2,3),(1,k),且ABC是直角三角形,求实数k的值解析:(1)若BAC90,即ACAB,即0,从而23k0,解得k;(2)若BCA90,即ACBC,即0,而(1,k3),故1k(k3)0,解得k;(3)若ABC90,即ABBC,即0,而(1,k3),故23(k3)0,解得k.综合可知,k或k或k.12已知a(cos,sin),b(cos,sin),a与b满足|kab|akb|,其中k0.(1)用k表示ab;(2)求ab的最小值,并求出此时a,b的夹角解析:(1)将|kab|akb|两边平方,得|kab|2(|akb|)2,k2a2b22kab3(a2k2b22kab),8kab(3k2)a2(3k21)b2,ab.a(cos,sin),b(cos,sin),a21,b21,ab.(2)k212k(当且仅当k1时等号成立),即,ab的最小值为.设a,b的夹角为,则ab|a|b|cos.又|a|b|1,11cos,60,即当ab取最小值时,a与b的夹角为60.
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