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新编高考数学复习资料第十一节函数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 知识梳理1几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型.函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a,b为常数,a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a,b,c为常数,a0)指数函数模型f(x)baxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net幂函数模型f(x)axnb(a,b为常数,a0)(2)三种增长型函数之间增长速度的比较.yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0,)上的单调性单调_函数单调_函数单调_函数图象的变化随x值增大,图象与_轴接近平行随x值增大,图象与x轴接近_随n值变化而不同2.解函数应用问题的步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下: 来源:www.shulihua.net基础自测1f(x)x2,g(x)2x,h(x)log2x,当x(4,)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是()Af(x)g(x)h(x)Bg(x)f(x)h(x)来源:www.shulihua.netCg(x)h(x)f(x)来源:www.shulihua.netDf(x)h(x)g(x)解析:根据三种函数模型的增长速度可知,选项B正确答案:B2在一次数学试验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:x2.01.001.02.03.0y0.240.5112.023.988.02则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数)()Ayabx ByabxCyax2b Dya 解析:由表格数据逐个验证知,模拟函数为yabx.故选B.答案:B3 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价是20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品的数量为_万件解析:利润L(x)20xC(x)(x18)2142,当x18时,L(x)有最大值答案:184 将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线yaent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,又过了m分钟后甲桶中的水只有升,则m的值为_解析:令aent,即ent,又e5n,故e15n,比较知,t15,m15510.答案:101提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时,求函数v(x)的表达式(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大?并求出最大值(精确到1辆/小时)解析:(1)由题意,当0x20时,v(x)60;当20x200时,设v(x)axb,再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x) (2)依题意并由(1)可得f(x) 当0x20时,f(x)为增函数,故当x20时,其最大值为60201 200;当20x200时,f(x)x(200x)2,当且仅当x200x,即x100时,等号成立所以,当x100时,f(x)在区间20,200上取得最大值.综上所述,当x100时,f(x)在区间0,200上取得最大值3 333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/小时答案:见解析来源:www.shulihua.net2请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AEFBx cm.(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(单位:cm2)最大,试问:x应取何值?来源:www.shulihua.net(2)若厂商要求包装盒的容积V(单位:cm3)最大,试问:x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解析:(1)根据题意有S6024x2(602x)2240x8x28(x15)21 800(0x10,所以3.15x5.832,解得x12(千米)(3) 当行程为3千米时,平均每千米为元,比较三种计费方程知,当行程为10千米时,费用最省,即行程10千米时下车,重新上车计费,故当行程为28千米时,两次分别行程10千米时下车,重新上车计费,其费用为2(1172.1)(1152.1)72.9元来源:www.shulihua.net答案:见解析来源:www.shulihua.net2据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例系数为k(k0)现已知相距18 km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx km.(1)试将y表示为x的函数;(2)若a1,且当x6时,y取得最小值,试求b的值解析:(1)设C处受A污染源污染程度为,C受B处污染源污染程度为,其中k为比例系数,且k0.来源:Z.xx.k.Com从而C处受污染程度y. (2)因为a1,所以y,yk,令y0,得x,又此时x6,解得b8,经验证符合题意所以,污染源B的污染强度b的值为8. 答案:见解析
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