第10讲一次函数【考纲要求】1理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式2会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质3体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题.来【命题趋势】一次函数是中考的重点，主要考查一次函数的定义、图象、性质及其实际应用，有时与方程、不等式相结合题型有选择题、填空题、解答题. 知识梳理一、一次函数和正比例函数的定义一般地，如果ykxb(k，b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数特别地，当b_时，一次函数ykxb就成为ykx(k是常数，k0)，这时y叫做x的正比例函数二、一次函数的图象与性质1一次函数的图象(1)一次函数ykxb(k0)的图象是经过点(0，b)和的一条直线(2)正比例函数ykx(k0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可2一次函数图象的性质函数系数取值大致图象经过的象限函数性质ykx(k0)k0_y随x增大而增大k0_y随x增大而减小ykxb(k0)k0，b0_y随x增大而增大k0，b0_k0，b0_y随x增大而减小k0，b0_一次函数ykxb的图象可由正比例函数ykx的图象平移得到，b0，上移b个单位；b0，下移|b|个单位三、利用待定系数法求一次函数的解析式因为在一次函数ykxb(k0)中有两个未知数k和b，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P1(a1，b1)，P2(a2，b2)代入得求出k，b的值即可，这种方法叫做_四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系1ykxb与kxb0直线ykxb与x轴交点的横坐标是方程kxb0的解，方程kxb0的解是直线ykxb与x轴交点的横坐标2ykxb与不等式kxb0从函数值的角度看，不等式kxb0的解集为使函数值大于零(即kxb0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y0，因此kxb0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围3一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点【考点探究】考点一、一次函数的图象与性质【例1】已知关于x的一次函数ykx4k2(k0)若其图象经过原点，则k_；若y随x的增大而减小，则k的取值范围是_解析：一次函数图象经过原点，4k20，k；若y随x的增大而减小，则k0.来答案：k0方法总结 一次函数的k值决定直线的方向，如果k0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b0，则与y轴的正半轴相交；如果b0，则与y轴交于负半轴；当b0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点. 触类旁通1 已知一次函数ymxn2的图象如图所示，则m，n的取值范围是()网Am0，n2 Bm0，n2Cm0，n2 Dm0，n2考点二、确定一次函数的解析式【例2】如图，已知一次函数ykxb的图象经过A(2，1)，B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D.来(1)求该一次函数的解析式；(2)试求DOC的面积分析：求经过已知两点坐标的直线解析式，一般是按待定系数法步骤求得，又由于点C，D分别在x，y轴上，据其坐标特点可求出CO，DO的长解：(1)把A，B点代入得解得yx.(2)由(1)得C，D，则OC，OD.DOC的面积.方法总结 用待定系数法求一次函数的步骤：设出函数关系式；把已知条件(自变量与函数的对应值)代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程(组)；解方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式触类旁通2 已知：一次函数ykxb的图象经过M(0,2)，N(1,3)两点(1)求k，b的值；(2)若一次函数ykxb的图象与x轴的交点为A(a,0)，求a的值考点三、一次函数与方程(组)、不等式的关系【例3】如图，已知函数yaxb和ykx的图象交于点P，则根据图象可得二元一次方程组的解是_解析：如图所示，二元一次方程组的解就是直线yaxb与直线ykx的交点，所以点P的坐标就是方程组的解，即来答案：方法总结 两个函数图象的交点坐标，既满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况触类旁通3 如图，直线y1kxb过点A(0,2)，且与直线y2mx交于点P(1，m)，则不等式组mxkxbmx2的解集是_来考点四、一次函数的应用【例4】小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线OABC和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为_分钟，小聪返回学校的速度为_千米/分；(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系；(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？解：(1)15(2)由图象可知，s是t的正比例函数设所求函数的解析式为skt(k0)，代入(45,4)，得445k，解得k.s与t的函数关系式为st(0t45)(3)由图象可知，小聪在30t45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为smtn(m0)代入(30,4)，(45,0)，得解得st12(30t45)令t12t，解得t.当t时，s3.答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米方法总结 用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)根据题意，设定问题中的变量；(2)建立一次函数关系式模型；(3)确定自变量的取值范围；(4)与方程或不等式(组)结合解决实际问题【经典考题】1(2013乐山)若实数a，b，c满足abc0，且abc，则函数yaxc的图象可能是()来2(2013泉州)若ykx4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的()A4 B C0 D33(2013丽水)甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则乙比甲每分钟多行驶_千米4(2013株洲)一次函数yx2的图象不经过第_象限5(2013菏泽)如图，一次函数yx2的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰RtABC，BAC90，求过B，C两点直线的解析式6(2013上海)某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x(吨)的函数关系式如图所示(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(2)当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量(注：总成本每吨的成本生产数量)【模拟预测】1关于一次函数yx1的图象，下列所画正确的是()2已知直线ykxb经过点(k,3)和(1，k)，则k的值为()A B C D3在平面直角坐标系中，把直线yx向左平移一个单位长度后，其直线解析式为()Ayx1 Byx1Cyx Dyx24一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示则下列结论错误的是()(第4题图)来#源:中国教&育出版%网A摩托车比汽车晚到1 hBA，B两地的路程为20 kmC摩托车的速度为45 km/hD汽车的速度为60 km/h来源:Z*xx*k.Com5如图所示，一次函数ykxb的图象与x轴的交点坐标为(2,0)，则下列说法：y随x的增大而减小；b0；关于x的方程kxb0的解为x2.其中说法正确的有_(把你认为说法正确的序号都填上)(第5题图)6点A(3,4)在一次函数y3x5的图象上，图象与y轴的交点为B，那么AOB的面积为_7一辆汽车在行驶过程中，路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示，当0x1时，y关于x的函数解析式为y60x，那么当1x2时，y关于x的函数解析式为_8如图，函数y1k1xb的图象与函数y2(x0)的图象交于A，B两点，与y轴交于C点已知A点的坐标为(2,1)，C点坐标为(0,3)(1)求函数y1的表达式和B点坐标；(2)观察图象，比较当x0时，y1和y2的大小参考答案【考点探究】触类旁通1D因为从图象上知，图象自左而右是“下降”的，交y轴于正半轴，所以m0，n20，即m0，n2.触类旁通2解：(1)把M(0,2)，N(1,3)代入ykxb，得解得yx2.(2)由题意得a20，a2.触类旁通31x2由图象可知，当x1时，mxkxb，把(1，m)和(0,2)代入y1kxb，得b2，mk2，解方程组得x2，因为y3mx2平行于y2mx，所以当x2时，kxbmx2.故原不等式组的解集为1x2.w#w【经典考题】1Aabc0，且abc，a0，c0(b的正负情况不能确定)a0，则函数yaxc的图象经过第二、四象限，c0，则函数yaxc的图象与y轴正半轴相交由图可知选A.2D因为函数值y随x的增大而增大，则k0，故选D.3因为甲的速度为1230(千米/分)，乙的速度为12(186)1(千米/分)，所以1(千米)4四因为k10，所以图象经过第一、三象限；因为b20，所以图象经过第一、二象限，所以函数图象不经过第四象限5解：如图，过点C作CDx轴，垂足为D，则AOBCDA90.BAC90，BAOABOBAOCAD90，ABOCAD.又ABAC，ABOCAD，