高中数学 第2章2.1.1知能优化训练 新人教B版选修1-21下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()A三角形B梯形C平行四边形 D矩形解析：选C.只有平行四边形与平行六面体较为接近2已知数列an中，a11，当n2时，an2an11，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是()An21 B(n1)21C2n1 D2n11解析：选C.a22a112113，a32a212317，a42a3127115，利用归纳推理，猜想an2n1，故选C.3在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_解析：.答案：184已知f(n)1(nN*)，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，推测当n2时，有_解析：通过观察归纳可得f(2n).答案：f(2n)5.如图为一串白黑相间排列的珠子：按此规律，求第36颗珠子的颜色解：第1颗黑珠子位于第2个位置，第2颗黑珠子位于第5个位置23，第3颗黑珠子位于第9个位置234，归纳第n颗黑珠子位于第f(n)23(n1个位置当n8时f(8)44，n7时，f(7)35.故第36颗珠子的颜色是白色一、选择题1已知数列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，则数列的第k项是()Aakak1a2k Bak1aka2k1Cak1aka2k Dak1aka2k2解析：选D.利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为ak1aka2k2，故选D.210条直线最多可以有交点()A45个 B50个C49个 D72个解析：选A.当n2时，有1个交点，当n3时，最多有3个交点，当n4时，最多有6个交点，当n5时最多有10个交点归纳可知anan1(n1)(n2)，所以a3a22，a4a33，a5a44，anan1n1.把以上等式相加，得an123(n1)a1，所以a1045.3有一个奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含二个数3,5；第三组含三个数7,9,11；第四组含四个数13,15,17,19；.则观察每组内各数之和与其组的编号数n的关系是()A等于n2 B等于n3C等于n4 D等于n(n1)解析：选B.113,35823,79112733.131517196443，猜想第n组各数之和等于n3.4如果对象A，B都具有相同的性质P，Q，R等，此外，对象A还有一个属性S，而对象B带有一个未知属性x，由类比推理，可以得出下列结论中可能正确的是()Ax就是P Bx就是QCx就是R Dx就是S解析：选D.由类比推理知A、B应具有一系列相同的性质5在如图所示的四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为()Aan3n1 Ban3nCan3n2n Dan3n12n3解析：选A.着色三角形的个数依次是1,3,9,27，归纳可知an3n1，故选A.6(2011年高考江西卷)观察下列各式：553125,5615625,5778125，则52011的末四位数字为()A3125 B5625C0625 D8125解析：选D.553125,5615625,5778125,58390625,591953125，可得59与55的后四位相同，由此可归纳出5m4k5m(kN*，m5,6,7,8)，又201145017，所以52011与57后四位数字相同为8125，故选D.二、填空题7(2011年高考山东卷)设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)ff1(x)，f3(x)ff2(x)，f4(x)ff3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)ffn1(x)_.解析：由f(x)(x0)得，f1(x)f(x)，f2(x)ff1(x)，f3(x)ff2(x)，f4(x)ff3(x)，当n2且nN*时，fn(x)ffn1(x).答案：8设f(x)，则f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)_.解析：等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加，即利用a1ana2an1a3an2，据此类比可解本题f(x)f(1x)，f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)63.答案：39在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式_成立解析：在等差数列an中，由a100得，a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1.又a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana19a18an1a1a2a19n，若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n.相应地等比数列bn中，则可得：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN)答案：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN)三、解答题10在平面上，设ha，hb，hc是三角形的三边上的高，P为三角形内任意一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到1，试通过类比，写出在四面体中的类似结论解：在空间，设ha，hb，hc，hd分别是四面体各顶点到四个对面上的高，P为四面体内任意一点，P到相应四个面的距离为Pa，Pb，Pc，Pd，通过类比有类似的结论：1.11已知sin230sin290sin2150，sin25sin265sin2125.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并加以证明解：一般形式：sin2sin2(60)sin2(120).其证明如下：左边cos 2cos(2120)cos(2240)(cos 2cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 240sin 2sin 240)右边原式得证12在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn，计算b1，b2，b3，并归纳出计算公式解：b1(rp)，b2()2rpp，b3()3rppp，归纳得bn()nrppp1