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三角函数的化简,求值与证明一、 基本知识点回顾1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:_.(2)商数关系:_.2.六组诱导公式 口诀:奇变偶不变,符号看象限3.两角和与差的正弦,余弦,正切公式cos() (C)cos() (C)sin() (S)sin() (S)tan() (T)tan() (T)4. 二倍角公式sin 2_;cos 2_;tan 2_.5.辅助角公式 acosbsin_,(其中a,b为常数)二、 基础检测1. (2010全国)已知是第二象限的角,tan ,则cos _.2. 若tan 2,则的值为_.3. 化简:sin 200cos 140cos 160sin 40_.4. 已知sin(),sin(),则=_.5. 设sin(),则sin 2等于 ()A. B. C. D.6. 若sin,则cos的值为 ()A. B. C. D.三、合作交流例1、已知是三角形的内角,且sin cos .(1)求tan 的值; (2)把用tan 表示出来,并求其值.练习. (1)已知tan 2,求sin2sin cos 2cos2;(2)已知sin 2sin ,tan 3tan ,求cos .例2、(1)化简: (0);(2)求值:sin 10.小结:三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征.练习2. (1)化简: ;(2)求值:2sin 50sin 10(1tan 10).例3、(1)已知cos,求cos的值;(2)已知2,cos(7),求sin(3)tan的值.练习3. (1)化简:;(2)已知f(x),求f的值.(3)化简:sincos (nZ);(4)化简: (nZ).例4、(1)已知0,且cos,sin,求cos()的值;(2)已知,(0,),且tan(),tan ,求2的值.小结:解这类问题的一般步骤为:求角的某一个三角函数值;确定角的范围;根据角的范围写出所求的角.练习4. (2011广东)已知函数f(x)2sin,xR.(1)求f的值;(2)设,f,f(32),求cos()的值.例5、求证:sin (1tan )cos 练习5. 证明下列恒等式:(1);(2)tan .小结:方法与技巧1.巧用公式变形:和差角公式变形:tan xtan ytan(xy)(1tan xtan y);倍角公式变形:降幂公式cos2,sin2;配方变形:1sin 2,1cos 2cos2,1cos 2sin2.2. 重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”3.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.要重视公式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.失误与防范1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降次的灵活运用,要注意“1”的各种变通.2.在(0,)范围内,sin()所对应的角不是唯一的.3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.四、过关检测1.若sin,则cos等于()A. B. C. D.2.已知f(), 则f的值为 ()A. B. C. D.3.当0x时,函数f(x)的最小值是 ()A. B. C.2 D.44.已知,则的值是()A. B. C.2 D.25.若cos 2sin ,则tan 等于()A. B.2 C. D.26.已知cos,则sin_.7.已知sin,则cos的值为_.8._.9.已知sin cos ,且,则cos sin 的值是_.10.设,sin cos ,则tan _.11.已知cosa (|a|1),则cossin的值是_.12.已知sin(3),求的值.13.已知是第三象限角,且(1)化简f();(2)若cos,求f()的值;(3)若1 860,求f()的值.
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