直线与圆1【教学目标】1. 掌握直线方程的几种形式，能判断两直线平行或垂直的位置关系，能用解方程组的方法求 两条相交直线的交点坐标理解两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求与此有关的 距离问题.2. 掌握圆的标准方程与一般方程，并能判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系，初步了解用代数方法处理几何问题的思路.【重点与难点】1. 掌握直线方程的几种形式；2. 掌握圆的标准方程与一般方程，并能判断直线与圆的位置关系、两圆的位置关系。【教学过程】一、知识要点1. 直线的倾斜角(1) 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把 x轴所在的直线绕着 按方向旋转到和直线重合时所转的 记为a，那么a就叫做直线的倾斜角.(2) 当直线与X轴平行或重合时，规定直线的倾斜角 .倾斜角的取值范围是 .2 .直线的斜率(1)倾斜角不是 的直线，它的倾斜角 a的 叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k表示，即k =.(2 )经过两点P x, y1和Q x2,y2- x2的直线的斜率公式为：k =.3 .直线方程的几种形式：名称方程的形式适用范围点斜式不能表示垂直于x轴的直线斜截式不能表示垂直于x轴的直线两点式不能表示垂直于x轴和y轴的直线截距式不能表示垂直于x轴和y轴以及过原点的直线一般式无限制，可表示任意位置的直线4.平行(1)若两条直线的斜率 k、k2均存在，在y轴上的截距分别为b、b2，则片/ 12的充要条件是.若两条直线11 : A1x +B1y+C1= 0 , l2:A2x+B2y+C2= 0，贝卩片/ -的充要条件为.5 .垂直(1)若两条直线的斜率k1, k2均存在，则1丄12? .若两条直线 11 : A1x + B1y + C1 = 0 和 12 : A2x + B2y + C2 = 0 ,贝V 片丄?6.点到直线的距离点P(x0, yo)到直线 Ax+ By + C= 0的距离为d =，特别地，两条平行直线 Ax+ By + C1 = 0, Ax+ By + C2 = 0间的距离为 d =.7直线系方程(1) 平行直线系：与直线 Ax+ By + C = 0平行的直线可以表示为 .(2) 垂直直线系：与直线 Ax+ By + C = 0垂直的直线可以表示为 .过两条直线I/ A1x+ B1y+ C1 = 0和l2: A2x+ B2y+ C2= 0的交点的直线系为：8.圆的方程(1)标准方程：(x a)2+ (y b)2= r2，其中为圆心，r为半径.一般方程：x2+ y2 + Dx + Ey+ F = 0(D2 + E2 4F0)其中圆心为 半径为.9 .直线 I : Ax + By+ C = 0 与圆(x a)2 + (y b)2= r2(r0)的位置关系(1)几何方法：圆心(a, b)到直线Ax + By+ C = 0的距离?直线与圆相交；?直线与圆相切；?直线与圆相离.(2)代数方法：由消元,得到一元二次方程判别式为 ，则 ?直线与圆相交； ?直线与圆相切； ?直线与圆相离.10两圆的位置关系：(设两圆的半径分别为1,2，圆心距为d )外离外切相交内切内含二、填空题1. (2010年苏州质检)直线x+ ay + 3= 0与直线ax+ 4y+ 6 = 0平行的充要条件是 a=4 a = 0, 解析：由两条直线平行可知 a= 2.6 工 3a,答案：22. (2009年高考安徽卷改编)直线I过点(1,2)且与直线2x 3y+ 4 = 0垂直，则I的方程是三、典例精讲题型一：直线的倾斜角与斜率例1.已知直线I过点P(- 1,2)，且与以A( 2, - 3)、B(3,0)为端点的线段相交，求直线 I 的斜率的取值范围.1法一：(数形结合)kpA =5,kpB工一21( a, U 5 ,+ ).2法二：设直线I的斜率为k，则直线I的方程为y-2 = k(x + 1),即卩 kx-y+ k + 2= 0.TA、B两点在直线的两侧或其中一点的直线I上，( -2k + 3 + k+ 2)(3k - 0 + k+ 2) 0, k 5 或 kw 2即直线I的斜率k的取值范围是1(-a, U 5 ,+a ).2题型二：直线的位置关系例2.求直线11: 2x+ y- 4= 0关于直线1: 3x+ 4y- 1 = 0对称的直线I?的方程.题型三：圆的方程例3.根据下列条件求圆的方程：(1)经过坐标原点和点 P(1,1)，并且圆心在直线 2x+ 3y+ 1 = 0上；已知一圆过P(4, - 2)、Q(- 1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程;已知圆的半径为10，圆心在直线y= 2x上，圆被直线x-y= 0截得的弦长为 4 2 .2 2(1) (x-4) (y 3) =25(2) x2 y2-2x-12 = 0 或 x2 y2-10x-8y 4 = 0(3) (x-2)2 (y-4)2 =10或(x 2)2 (y 4)2 =10题型四：直线与圆的位置关系例4 .已知圆 C: x2+ y2 2x+ 2y+ 1 = 0，与圆C相切的直线I交x轴、y轴的正方向于 A、B 两点，0 为原点，OA = a, OB= b(a2, b2).(1)求证：圆C与直线I相切的条件是(a 2)(b 2)= 2;求线段AB中点的轨迹方程；求 AOB面积的最小值.解 依题意得，直线L的方程为x +y =1即bx+ay-ab=0 ,圆C的方程为(x-1)2+(y-1) 2=1a b(1) 直线与圆相切，二旱譽 =1,化简：(a-2)(b-2)=2寸a +ba = 2x1(2) 设 AB 的中点为(x,y)，贝y代人得：(x-1)(y-1)=： (x -1,y 1)b=2y21(3) 由(a-2)(b-2)=2,得 ab=2a+2b-2/ S a aob= ? |ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3 2 (a-2)(b-2) +3=22 +3 ,当且仅当a=b=2+ 2时，面积有最小值：2 2 +3.四、走进高考(模拟)1.在厶ABC中，BC边上的高所在直线方程为 x 2y+ 1= 0,Z A的平分线所在直线方 程为y= 0,若点B坐标为(1,2)，求点A和C的坐标.分析：利用高线与/ A的平分线求得点 A坐标,然后求出直线 AC与BC的方程，从而求出C点坐标.解 A点既在BC边的高线上，又在/ A的平分线上由 X-2y 1-0 得 a(-1,0)kAB=1,而 x 轴是角 A 的平分线, kAC= - 1,y = 0 AC边所在直线方程为 y=-( x+1)又kBC= - 2, BC边所在直线方程为 y-2= - 2(x- 1)联立得C的坐标为(5, - 6)点拨：综合运用三角形和直线有关知识，寻找解题突破口 ，将问题转化为先求一些直线方程,再求直线的交点这是解决这一类问题的常用办法2. (2009年高考上海卷改编)求点P(4 , 2)与圆x2 + y2 = 4上任一点连线的中点轨迹方程。 答案：(X-2)2 (y 1)2 =1设M(x0,y)是圆x + y = 4上任一点,Q(x,y)是PM的中点，贝U十辿 -2 2x0 =2x-42222解得，代人圆 x2 + y2= 4 方程，得(2x-4)2 (2y 2)4 ,y2y 2即(x -2)2 (y 1)2 -1为所求的轨迹方程3. 已知。O: X2 y2 =1 和点 M (4,2).(I)过点M向O O引切线丨，求直线丨的方程；(n )求以点M为圆心,且被直线y =：2x_1截得的弦长为4的O M的方程；(川)设P为(n )中O M上任一点,过点P向O O引切线,切点为Q.试探究：平面内PQ是否存在一定点 R,使得-Q为定值？若存在,请举出一例，并指出相应的定值;若不存PR【答案】19.解：(1)设切线！方程为二Q-4),易得4=1 ,解得 -吐返4分15二切线r方程为-2土晋(D 6分(II )圆心到直线y = 2x-l的距离为於，设圆的半径为则 r2 -22 4-(V5)2 =9,的方程为(x-4)7+(y-2)7 =9 10分(III)假设存在这样的点R34,点尸的坐标为(Xi),相应的定值为氛根据题意可得PO = J宀八1，二(讣“+厂一 1 = = A,J()】+。-疔&P-1 =丸(忑丄 +，？ 一 Igx 2-by + ct* + ) * )，又点 P在圆A (x-4)3+Cy-2)a=9f 即x2+y2 = 8x+4-11,代入 O) 式得：Sx+4y-12 =久 2 (8 - 2a)x+ (4 - 2b)y-11)(8-2a) = 8 若系数对应相等，则等式恒成立才(4-) = 4s才(/+戸一11) = 一12 解得a = 2上二1 = 75或口二二石二丄丿=廻14分553二可以找到这样的定点R ,使得樂为定值.如点R的坐标为(2,1)时，比值 PR为血，点丘的坐标为(右孚时，比值为乎16分解析：由题意知，直线I的斜率为一3因此直线I的方程为y 2= |(x+ 1)，即3x+ 2y 1 =0.答案：3x+ 2y 1= 03.若圆C的半径为1,圆心在第一象限， 且与直线4x 3y= 0和x轴都相切，则该圆的标准方程是|4x0 3|1解析：由题意，设圆心(x,1), . = 1,解得X0 = 2或X0= (舍),A/4* 2 3 4 5+ ( 3)22所求圆的方程为(x 2)2 + (y 1)2= 1.答案：(x 2)2+ (y 1)2= 14.已知圆 6： (x+ 1)2+ (y 1)2= 1,圆C2与圆C1关于直线x y 1 = 0对称，则圆 C?的方程为解析：圆6： (x+ 1)2+ (y 1)2= 1的圆心为(1,1).圆C2的圆心设为(a, b), C1与C2关于 直线x y 1 = 0对称，b 1=1a+ 11 = 0,I a= 2, 解得圆C2的半径为1 ,b = 2,-圆 C2 的方程为(x 2)2+ (y+ 2)2= 1.5.(2009 年高考天津卷)若圆 x2+ y2= 4与圆 x2+ y2 + 2ay 6= 0(a0) 的公共弦的长为2励，贝U a=.1解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y=-,如图，由已知|AC|a1 =3, |OA|= 2，有 |OC|= 1, - a= 1.a答案：1