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课后限时集训(十四)导数与函数的单调性(建议用时:60分钟)A组基础达标一、选择题1已知函数f(x)的导函数f(x)的图像如图所示,则函数f(x)的图像可能是() AB CDC由导函数f(x)的图像可知,函数yf(x)先减再增,可排除选项A,B;又f(x)0的根为正数,即yf(x)的极值点为正数,所以可排除选项D,选C.2函数f(x)ln xax(a0)的递增区间为()A.BC. D(,a)A由题意,知f(x)的定义域为(0,),由f(x)a0(a0),得0x,f(x)的递增区间为.3已知函数f(x)x3ax在(1,1)上递减,则实数a的取值范围为()A(1,) B3,)C(,1 D(,3Bf(x)x3ax,f(x)3x2a.又f(x)在(1,1)上递减,3x2a0在(1,1)上恒成立,a3,故选B4(2019兰州模拟)函数f(x)在定义域R内可导,f(x)f(4x),且(x2)f(x)0.若af(0),bf,cf(3),则a,b,c的大小关系是()Acba BcabCabc DbacC由f(x)f(4x)可知,f(x)的图像关于直线x2对称,根据题意知,当x(,2)时,f(x)0,f(x)为减函数;当x(2,)时,f(x)0,f(x)为增函数所以f(3)f(1)ff(0),即cba,故选C.5若函数f(x)ln xax22x存在递减区间,则实数a的取值范围是()A(1,) B1,)C(,1 D(1,0)Af(x)ax2,由题意知f(x)0有实数解,x0,ax22x10有实数解当a0时,显然满足;当a0时,只需44a0,1a0.综上知a1.二、填空题6函数f(x)x22ln x的递减区间是_(0,1)函数f(x)x22ln x的定义域为(0,),令f(x)2x0,得0x1,f(x)的递减区间是(0,1)7(2019银川诊断)若函数f(x)ax33x2x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是_(3,0)(0,)由题意知f(x)3ax26x1,由函数f(x)恰好有三个单调区间,得f(x)有两个不相等的零点,需满足a0,且3612a0,解得a3,所以实数a的取值范围是(3,0)(0,)8定义在(0,)上的函数f(x)满足x2f(x)10,f(1)6,则不等式f(lg x)5的解集为_(1,10)构造g(x)f(x)5,则g(x)f(x)0,所以g(x)在(0,)上递增因为f(1)6,g(1)0,故g(x)0的解集为(0,1),即f(x)5的解集为(0,1),由0lg x1,得1x10,不等式的解集为(1,10)三、解答题9(2019辽南五校联考)函数f(x)xexln xax.(1)若函数yf(x)在点(1,f(1)处的切线与直线y2(e1)(x1)平行,求实数a的值;(2)若函数f(x)在1,)上递增,求实数a的取值范围解(1)f(x)(x1)exa(x0),f(1)2e1a2(e1),所以a1.(2)由函数yf(x)在1,)上递增,可得f(x)(x1)exa0在1,)上恒成立,即a(x1)ex在1,)上恒成立,令g(x)(x1)ex,则g(x)(x2)ex0,所以g(x)在1,)上递增,所以g(x)ming(1)2e1,所以a2e1.即a的取值范围为(,2e110已知函数f(x)xexa(x1)2(其中e为自然对数的底数),求函数f(x)的单调区间解因为f(x)xexa(x1)2,所以f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a),当a0时,ex2a0,令f(x)0,解得x1;令f(x)0,解得x1;当a0时,ln(2a)1,令f(x)0,解得x1或xln(2a);令f(x)0,解得ln(2a)x1;当a时,f(x)0恒成立;当a时,ln(2a)1,令f(x)0,解得xln(2a)或x1;令f(x)0,解得1xln(2a)综上,当a0时,f(x)的递增区间是(1,),递减区间为(,1);当a0时,f(x)的递增区间是(,ln(2a)和(1,),递减区间为(ln(2a),1);当a时,f(x)的递增区间是(,),无递减区间;当a时,f(x)的递增区间是(,1)和(ln(2a),),递减区间为(1,ln(2a)B组能力提升1若函数f(x)x2ax在上是增函数,则a的取值范围是()A1,0 B1,)C0,3 D3,)D据题意当x时,f(x)2xa0恒成立,分离变量得a2x,令g(x)2x,易知函数在上为减函数,故g(x)g3,故只需a3即可,故选D2(2019宜宾模拟)已知函数f(x)xln xx(xa)2(aR)若存在x,使得f(x)xf(x)成立,则实数a的取值范围是()A. BC(,) D(3,)C由f(x)xf(x)成立,可得0.设g(x)ln x(xa)2,则存在x,使得g(x)0成立,即g(x)2(xa)0成立,即amin即可又x2,当且仅当x,即x时取等号,a.故选C.3已知函数f(x)x24x3ln x在区间t,t1上不单调,则t的取值范围是_(0,1)(2,3)f(x)x4,x0.令g(x)(x1)(x3),如图要使f(x)在t,t1上不单调,只需t1t1或t3t1,即0t1或2t3.4(2018合肥一模)已知f(x)ln(2x1)(aR)(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)ax恒成立,求a的值解(1)f(x)的定义域为,f(x).令g(x)2x22axa,则若2x22axa0的根的判别式0,即当0a2时,对任意x,g(x)0恒成立,即当x时,f(x)0恒成立,f(x)在上递增若2x22axa0的根的判别式0,即当a2或a0时,g(x)图像的对称轴为直线x.当a0时,0,且g0.对任意x,g(x)0恒成立,即对任意x,f(x)0恒成立,f(x)在上递增当a2时,1,且g0.记g(x)0的两根分别为x1,x2,且x1(a),x2(a)当x(x2,)时,g(x)0,当x(x1,x2)时,g(x)0.当x(x2,)时,f(x)0,当x(x1,x2)时,f(x)0.f(x)在和(x2,)上递增,在(x1,x2)上递减综上,当a2时,f(x)在上递增;当a2时,f(x)在和上递增,在,上递减(2)f(x)ax恒成立等价于对任意x,f(x)ax0恒成立令h(x)f(x)axln(2x1)ax,则h(x)0h(1)恒成立,即h(x)在x1处取得最大值h(x).由h(1)0,得a1,当a1时,h(x),当x时,h(x)0;当x(1,)时, h(x)0.当a1时,h(x)在上递增,在(1,)上递减,从而h(x)h(1)0,符合题意a1.
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