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从力做功到向量的数量积【学习目标】(1) 理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.(2) 体会平面向量的数量积与向量投影的关系. (3) 掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.(4) 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义;运算律.【学习难点】运算律的理解【知识衔接】1.已知(x1, y1) (x2, y2) 求+,-的坐标;2.已知(x, y)和实数, 求的坐标;3.已知,求的坐标;4.向量、共线的两种判定方法:()、。【学习过程】1.由力做的功:W = |F|s|cosq, q是F与s的夹角;可以定义:平面向量数量积(内积)的定义,ab = |a|b|cosq, 并规定0与任何向量的数量积为0。2.向量夹角的概念:。范围0q180。由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别;要注意的几个问题: 两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cosq的符号所决定。 两个向量的数量积称为内积,写成ab;今后要学到两个向量的外积ab,而ab是两个数量的积,书写时要严格区分。OaAcbab 在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;但是在数量积中,若a0,且ab=0,不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0.这就得性质2. 已知实数a、b、c(b0),则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右图:ab = |a|b|cosb = |b|OA| / bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab=bc 但a c 在实数中,有(ab)c = a(bc),但是(ab)c a(bc) 显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线.3.问题(1).射影的概念是如何定义的,举例(或画图)说明;并指出应注意哪些问题.AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定义:|b|cosq叫做向量b在a方向上的射影。 注意:射影也是一个数量,不是向量。 当q为锐角时射影为正值; 当q为钝角时射影为负值; 当q为直角时射影为0; 当q = 0时射影为 |b|; 当q = 180时射影为 -|b|.问题(2).如何定义向量数量积的几何意义?由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质. 几何意义:数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。 ea = ae =|a|cosq ab ab = 0 当a与b同向时,ab = |a|b|;当a与b反向时,ab = -|a|b|。 特别的aa = |a|2或强调:a+b=; cosq =(|a|b|0) |ab|a|b|4.向量数量积的运算满足:1.交换律:ab = ba2.数乘结合律:(a) b =(ab) = a (b)3.分配律:(a + b) c = ac + bc例1.已知:【巩固练习】3.判断下列各题正确与否: 若a = 0,则对任一向量b,有ab = 0. ( ) 若a 0,则对任一非零向量b,有ab 0. ( ) 若a 0,ab = 0,则b = 0. ( ) 若ab = 0,则a 、b至少有一个为零. ( ) 若a 0,ab = ac,则b = c. ( ) 若ab = ac,则b = c当且仅当a 0时成立. ( ) 对任意向量a、b、c,有(ab) c a (bc). ( ) 对任意向量a,有a2 = |a|2. ( )【学习反思】【作业布置】 希望对大家有所帮助,多谢您的浏览!
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