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第43讲 空间向量及其运算课时达标一、选择题1(2019大冶一中月考)对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,且有xyz(x,y,zR),则x2,y3,z2是P,A,B,C四点共面的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件B解析 当x2,y3,z2时,即232,则23()2(),即32,根据共面向量定理,知P,A,B,C四点共面;反之,当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理mn,即m()n(),即(1mn)mn,即x1mn,ym,zn,这组数显然不止2,3,2.故是充分不必要条件故选B.2(2019通州期末)已知两个非零向量a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),它们平行的充要条件是()A.Ba1b1a2b2a3b3Ca1b1a2b2a3b30D存在非零实数k,使akbD解析 应选D,首先排除B,C项表示ab,A项表示a,b的单位向量相等,但两向量方向相反也叫平行3已知a(2,3,4),b(4,3,2),bx2a,则x()A(0,3,6) B(0,6,20)C(0,6,6) D(6,6,6)B解析 因为bx2a,所以x4a2b即x(8,12,16)(8,6,4)(0,6,20)4已知a(2,1,3),b(1,2,3),c(7,6,),若a,b,c三向量共面,则()A9 B9C3 D3B解析 由题意知cx ay b,即(7,6,)x(2,1,3)y(1,2,3),所以解得9.5若平面,的法向量分别为n1(2,3,5),n2(3,1,4),则()A BC,相交但不垂直 D以上均不正确C解析 由n1(2,3,5),n2(3,1,4),因为n1和n2不平行,所以与不平行;又因为n1n26320290,所以与不垂直6平行六面体ABCDA1B1C1D1中,向量,两两夹角均为60,且|1,|2,|3,则|()A5 B6C4 D8A解析 由题可得,故22222()1492(121323)cos 6025,故|5.二、填空题7在空间直角坐标系中,点P(1,),过点P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为_解析 依题意知,垂足Q为点P在平面yOz上的投影,则点Q的纵、竖坐标与点P的纵、竖坐标相等,横坐标为0.答案 (0,)8如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC的中点用,表示,则_.解析 由题意知().答案 9(2019晋江模拟)设OABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG3GG1,若xyz,则(x,y,z)为_解析 如图所示,取BC的中点E,连接AE.()()()(),所以xyz.答案 (,)三、解答题10如图,在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AEBFx,其中0xa,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E,F的坐标;(2)求证:A1FC1E;(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:.解析 (1)E(a,x,0),F(ax,a,0)(2)证明:因为A1(a,0,a),C1(0,a,a),所以(x,a,a),(a,xa,a),所以axa(xa)a20,所以,所以A1FC1E.(3)证明:因为A1,E,F,C1四点共面,所以,共面选与为一组基向量,则存在唯一实数对(1,2),使12,即(x,a,a)1(a,a,0)2(0,x,a)(a1,a1x2,a2),所以解得1,21.于是.11(2019安庆模拟)已知空间三点A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设a,b.(1)若|c|3,且c,求c;(2)求a和b的夹角的余弦值;(3)若kab与ka2b互相垂直,求k的值;(4)若(ab)(ab)与z轴垂直,求,应满足的关系证明 (1)因为c,所以cmm(2,1,2)(2m,m,2m)所以|c|3|m|3.即m1.所以c(2,1,2)或c(2,1,2)(2)因为a(1,1,0),b(1,0,2),所以ab(1,1,0)(1,0,2)1.又|a|,|b|,所以cosa,b.所以a和b夹角的余弦值为.(3)方法一因为kab(k1,k,2),ka2b(k2,k,4),所以(k1,k,2)(k2,k,4)(k1)(k2)k280.所以k2或k.即当kab与ka2b互相垂直时,k2或k.方法二由(2)知|a|,|b|,ab1,所以(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100,得k2或k.(4)因为ab(0,1,2),ab(2,1,2),所以(ab)(ab)(2,22)因为(ab)(ab)(0,0,1)220,即当,满足关系0时,可使(ab)(ab)与z轴垂直12已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)(1)求以,为边的平行四边形的面积;(2)若|a|,且a分别与,垂直,求向量a的坐标解析 (1)由题意可得(2,1,3),(1,3,2),所以cos,所以sin,.所以以,为边的平行四边形的面积为S2|sin,147.(2)设a(x,y,z),由题意得解得或所以向量a的坐标为(1,1,1)或(1,1,1)13选做题在四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PDDC,E,F分别是AB,PB的中点(1)求证:EFCD;(2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF平面PCB.若存在,求出点G的坐标;若不存出,试说明理由解析 (1)证明:如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设ADa,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),F.,(0,a,0)因为0,所以,即EFCD.(2)假设存在满足条件的点G,设G(x,0,z),则.若使GF平面PCB,则由(a,0,0)a0,得x;由(0,a,a)a0,得z0.所以G点的坐标为,即存在满足条件的点G,且点G为AD的中点5
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