模糊数学又称Fuzzy数学，是研究 和处理模糊性现象的一种数学理论和方法.比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是1, 40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为0,按照查德给出 的公式，55岁属于“老”的程度为05,即“ 半老”，60岁属于“老”的程度08。指明各个 元素的隶属于这个集合时，通常还指定0,1上 的一个数来表明元素的隶属度。这个集合就是模糊集合。内容提纲絵一、模糊综合评价二、多层次模糊综合评价三、层次分析法与因素权重模糊集.、模糊综合评价例1:评价某种服装，应先对“花色式样”“耐穿程度”“价格费用”等进行评判，然设评判因素集t/=花色式样，耐穿程度,价格费用评判集v=很欢迎，比较欢迎, 不太欢迎，不欢迎一般地，记因素集为U二绚,2,，血记评判集为 V = v19v2,.svm.对于花色式样，进行单因素评价，得到 丫（绚）=（0.7, 0.2, 0.1,0）.厂（冏）为对花色 式样的评价.丫（均）（岭）=0.7表示该服装在 花色式样上的很受欢迎的程度.若单因素评判分别为丫(均)=(0.7,0.2,0.1,0)卩(%2)二(0.6,0.2,0.1,0.1)丫(%3)= (02 07, 0.1，0)则综合评判应为/ (0.7,0.6,0.2),/(020.2,0.7), y(o.i, o.i, o.i),/(o, o.i, 0)血综合考虑各种评价因素，得到对u的综合评价为:/。（”仏）,丫（冷）（儿），/（丫（%1）02（%2）2），（血）他），,其中，f为元模糊综合函数，7（均）（耳） 为第i种评判因素对第j项评判的隶属度.常用的元模糊综合函数总与一个权向量有关，且常涉及以下两类权向量:A = （%，J ）u (1)归一化权向量：工e =l;i=(2)正规化权向量:7 Q 11 2=1归一化权向量与正规化权向量的转化:（D若权向量力=（%,吆，色）是归一化的，令q：=再/色（7 = 1,2,）,n其中，ak = 丫5贝!I1=1A* * * *、A =（同42厂4）是正规化权向量;(2)若权向量4 = (%,。2，,色)是正规化的，令a：=线/工色(z = 12m),/k=则A =(d；，a；，a：)是归一化权向量.模糊综合评判常用的几种模糊综合函数：（1）加权平均型设4 =（均卫2，,色）丘0,1是归一化权向量,v（x，忑）引那令fY （兀1，兀 2，* *ni=i扎称为加权平均型模糊综合函数其中4可以解释为第说素在综合评判中所占比重輕（2）几何平均型设人=（%卫2，色）丘，1是归一化权向量,/（兀1，花，）eO,l 令fyi（兀1，兀2，*i=lfn称为几何平均型模糊综合函数其中Q,是几 何权数.（3）单因素决定型设A =（Q1，Q2,色）引0，1是正规化权向量,n心（兀1，兀2，兀“）=八兀1=1fA称为单因素决定型模糊综合函数.（4）主因素突出型设人=（01，2,色）引0,1是正规化权向量,eO,l 令n九（兀1，兀2，兀）=v（2z. TxJi=fT称为主因素突出型模糊综合函数，其中T是 连续t-模.模糊综合评判的步骤:（D 建立评判对象因素集U二况2,，给（2）建立评判集V = 片*2,，%（3）建立单因素评判，得到模糊矩阵G 人2 仏G f 乙1乙2 Fnm其中,O三勺三1,为第i种评判因素对第J 项评判的隶属度.（4）综合评判，选择合适的模糊综合函数/进行综合用U上的一个模糊集4 = （%,色,，色） 表示各因素的权重分配，令儿=/（心，勺= ，加则定义（x，）为综合评判其中儿是 就整体而言，获得第丿个评语的隶属度.若取 W 则综合评判为B =该评判模型称为M(v,a)模型.若取/二九，则综合评判为B = AoTRy该 评判模型称为M(/,T)模型，特别地，T = ， 为M(S)模型.i；评判矩阵，也有两种情形:all(1)归一化评判矩阵，即勺1乞 =j=(2)正规化评判矩阵，即Vi, v = 1. j=i 7与权向量一样，归一化评判矩阵与正规化评判矩阵可以相互转化.关于综合评判的归一化的结论:（1）若f = f是加权平均型元模糊综 合函数，且7?=（分）宀是归一化评判矩阵, 4 = （%,2,，色）是给定的归一化权向量， 则综合评判（开2,，九）是归一化的.（2）若f = fA或九是单因素决定型或主 因素突出型元模糊综合函数，且Rf 是正规化评判矩阵，4 = （%,色，色）是给定 的正规化权向量，贝！I综合评判（儿畑，九） 也是正规化的.（3）若f = fn是几何平均型元模糊综合函数，且7?和A是归一化的，而综合 评判（，儿）未必是归一化的若人 和A是正规化的，综合评判（X，） 也未必是正规化的因此，当使用几何平均 型模糊综合函数时，对所得结果都应作归一化或正规化处理，以便与其他方法比较.(4)当权重是归一化时，函数f = A或 f = A 一般不满足正则性.但在实际应用中， 归一化的权向量与归一化的单因素模糊评价 更容易被人接受，使用起来更方便.因此， 在使用M(v,a)模型和M(v,T)模型前将 归一化的权向量与归一化的单因素模糊评价正规化,例1以服装评判为例，设因素集和评判集为 U=花色,式样，耐穿性，价格，舒适程度U=很欢迎，比较欢迎，不太欢迎，不欢迎对某一种服装，请若干专门人员进行单因素评判.只考虑花色式样，若有20%的人很欢迎, 有50%的人比较欢迎，有30%的人不太欢迎, 便可以得出花色I R = (02 0.5,0.3,0)类似地，假设其他因素的单因素模糊评判为式样ijR2 (0.1,0.3,0.5,0.1)耐穿性尽=(0,0.1，0.6,0.3)价格 (0,0.4,0.5,0.1)舒适程度一7?5=(5,03,02,0)魁所有单因素评判组成的评判矩阵0.2 0.5 0.300.1 0.3 0.5 0.10 0.1 0.6 0.300.40.50.10.5 0.3 0.20将R正规化得到0.41.00.600.20.61.00.200.171.00.500.81.00.21.00.60.40R*现假设某类男顾客，所给权重为4 = (0丄 0.1,0.15,0.3, 0.35) 将其正规化得4； = (0.29,0.29,0.43,0.86,1.0)则选用M(v,a)模型可以求得此类顾客对 这种服装的模糊综合评判为= A；。疋=(1.0, 0.& 0.86,0.43)再归一化得到3=(0.32360.25820.27830.1390即对这种服装：32.36%很欢迎；25.89%欢迎;27.83%不太欢迎；13.92%不欢迎.若顾客为女性，此时A? = (0.3,0.35,0.10,0.10,0.15):后得B2 = (0.1667 0.3333 0.3876 0.1124也可给各个指标打分,然后加权计算综合得分，以此比较不同商品.二、多层次模糊综合评判由于对复杂事物的评判要涉及的因素往往很 多，而每个因素都要赋予一定的权重，故当因 素很多时，必然存在以下问题：(1) 权重难以适当分配.因为因素太多时， 人的主观判断很难判断准确；(2) 得不到有意义的评判结果.因为当因素很多时，归一化的权重必然很小，难以真实地反映各因素在整体中的地位.这时需釆取多层次评判来解决这类问题.多层次综合评判的步骤:1 因素分类将因素集卩=岡山2，给按某种属性 分为S类，即5 =(均 1, ui2,满足条件:(1) + “2 ns 二；(2) SUSUU t/;zuuhJU2cv丿/uJs丿V/z、厂z、厂cr广z、厂c、U11 JJ丿UgVJU21v yVyU2n2J VTUS19 _yJyUsns_ y2建立评判集 V = vvv2,-,vp3. 建立权重集(1) 因素类权重集设第I类因素匕的权数为q(Z = l,2,C) 则因素类权重集为4 =,色，色)(2) 因素权重集设第i类中的第/个因素 呦的权数为。旷 则因素权重集为A = 2% 4止 2 =1,2,S4. _级综合评判对一类的各个因素进行综合评判设一级模糊 综合评判的单因素评判矩阵为第i类因素的模糊综合评判为Bi = AT Ri=（匕2八、4 ） Tr（0r（oa12 lpr（o严严勺2山p=（切102,Qp）5.二级综合评判二级模糊综合评判的单因素评判矩阵，应为 一级模糊综合评判矩阵R = oT Rx4 T 只2BsA o Rs T s于是二级模糊综合评判为ATRsATRsB = A oT 7? = A oTA t R= (%L0)ATRsA1B1A b2 R2 :RB例2评判一批产品的质量，有9项基本因素,即U = 绚山2,山9；评判集为卩=儿*2*3*4， 其中V1 =等品,卩2 =二等品，卩3 =次品，卩4 =废品. 评判小组由专家、检验员和用户三类人员组成, 他们分别负责三项指标（因素）的评判，比如 专家负责“ =绚山2，吗，检验员负责/二仏4，%5，%， 用户负责4=均,他山屏份别得出单因素评判矩阵(Nooooo00(NcoH(N(Nt-H o o o o o o