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第4章 不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设, ,若存在函数,使得对任意均有 或,则称为的一个原函数。的全部原函数称为在区间上的不定积分,记为注:(1)若连续,则必可积;(2)若均为的原函数,则。故不定积分的表达式不唯一。性质性质1:或;性质2:或;性质3:,为非零常数。计算方法第一换元积分法(凑微分法)设的 原函数为,可导,则有换元公式:第二类换元积分法设单调、可导且导数不为零,有原函数,则 分部积分法有理函数积分若有理函数为假分式,则先将其变为多项式和真分式的和;对真分式的处理按情况确定。本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知-求定积分的问题,实质上是求被积函数的原函数问题;后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,最终的解决都归结为对定积分的求解;而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲,不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用,积分的问题会不会求解及求解的快慢程度,几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入,同学们会慢慢体会到! 课后习题全解习题4-11.求下列不定积分:知识点:直接积分法的练习求不定积分的基本方法。授课:XXX思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!(1)思路: 被积函数 ,由积分表中的公式(2)可解。解:(2)思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:(3)思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解:(4)思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解:(5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。解:(6)思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。授课:XXX解:注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)思路:分项积分。解:(8)思路:分项积分。解:(9)思路:?看到,直接积分。解:(10)思路:裂项分项积分。解:(11)解:(12)思路:初中数学中有同底数幂的乘法: 指数不变,底数相乘。显然。授课:XXX解:(13)思路:应用三角恒等式“”。解:(14)思路:被积函数 ,积分没困难。解:(15)思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。解:(16)思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。解:(17)思路:不难,关键知道“”。解:(18)思路:同上题方法,应用“”,分项积分。解:授课:XXX(19)思路:注意到被积函数 ,应用公式(5)即可。解:(20)思路:注意到被积函数 ,则积分易得。解:2、设,求。知识点:考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析:直接利用不定积分的性质1:即可。解:等式两边对求导数得:3、设的导函数为,求的原函数全体。知识点:仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析:连续两次求不定积分即可。解:由题意可知,所以的原函数全体为:。4、证明函数和都是的原函数知识点:考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析:只需验证即可。解:,而5、一曲线通过点,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。授课:XXX知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解:设曲线方程为,由题意可知:,;又点在曲线上,适合方程,有,所以曲线的方程为6、一物体由静止开始运动,经秒后的速度是,问:(1) 在秒后物体离开出发点的距离是多少?(2) 物体走完米需要多少时间?知识点:属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析:求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可。解:设物体的位移方程为:,则由速度和位移的关系可得:,又因为物体是由静止开始运动的,。(1) 秒后物体离开出发点的距离为:米;(2)令秒。习题4-21、填空是下列等式成立。知识点:练习简单的凑微分。思路分析:根据微分运算凑齐系数即可。解:2、求下列不定积分。知识点:(凑微分)第一换元积分法的练习。思路分析:审题看看是否需要凑微分。直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍!(1)授课:XXX思路:凑微分。解:(2)思路:凑微分。解:(3)思路:凑微分。解:(4)思路:凑微分。解:(5)思路:凑微分。解:(6)思路:如果你能看到,凑出易解。解:(7)思路:凑微分。解:(8)思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。授课:XXX解:(9)思路:本题关键是能够看到 是什么,是什么呢?就是!这有一定难度!解:(10)思路:凑微分。解:方法一:倍角公式。方法二:将被积函数凑出的函数和的导数。方法三: 三角公式,然后凑微分。 (11)思路:凑微分:。解:(12)思路:凑微分。解:(13)授课:XXX思路:由凑微分易解。解:(14)思路:凑微分。解:(15)思路:凑微分。解:(16)思路:凑微分。解:(17)思路:经过两步凑微分即可。解:(18) 思路:分项后分别凑微分即可。解:授课:XXX(19) 思路:裂项分项后分别凑微分即可。解:(20)思路:分项后分别凑微分即可。解:(21)思路:分项后分别凑微分即可。解:授课:XXX(22)思路:裂项分项后分别凑微分即可。解:(23)思路:凑微分。解:(24)思路:降幂后分项凑微分。解:(25)思路:积化和差后分项凑微分。解:(26)思路:积化和差后分项凑微分。解:(27)思路:凑微分。解:授课:XXX(28)思路:凑微分。解:(29)思路:凑微分。解:(30)思路:凑微分。解:(31)思路:被积函数中间变量为,故须在微分中凑出,即被积函数中凑出,解:授课:XXX(32)思路:解:(33)解:方法一:思路:将被积函数的分子分母同时除以 ,则凑微分易得。方法二:思路:分项后凑微分 方法三:思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 ,裂项后凑微分。 (34)解:方法一: 思路:分项后凑积分。 授课:XXX方法二:思路:利用第二类换元法的倒代换。令,则。(35)解:方法一: 思路:分项后凑积分。 方法二: 思路: 利用第二类换元法的倒代换。令,则。3、求下列不定积分。知识点:(真正的换元,主要是三角换元)第二种换元积分法的练习。思路分析:题目特征是-被积函数中有二次根式,如何化无理式为有理式?三角函数中,下列二恒等式起到了重要的作用。为保证替换函数的单调性,通常将交的范围加以限制,以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内,得出新变量的表达式,再形式化地换回原变量即可。授课:XXX(1)思路:令,先进行三角换元,分项后,再用三角函数的升降幂公式。解:令,则。(或)(万能公式,又时,)(2)思路:令,三角换元。解:令,则。 (时,)(3) 思路:令,三角换元。解:令,则。(4)授课:XXX思路:令,三角换元。解:令,则。(5)思路:先令,进行第一次换元;然后令,进行第二次换元。解:,令得:,令,则,(与课本后答案不同)(6)思路:三角换元,关键配方要正确。解:,令,则。4、求一个函数,满足,且。思路:求出的不定积分,由条件确定出常数 的值即可。授课:XXX解:令,又,可知,5、设,求证:,并求。思路:由目标式子可以看出应将被积函数 分开成,进而写成:,分项积分即可。证明:习题4-31、 求下列不定积分:知识点:基本的分部积分法的练习。思路分析:严格按照“反、对、幂、三、指顺序,越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 (1)思路:被积函数的形式看作,按照“反、对、幂、三、指”顺序,幂函数优先纳入到微分号下,凑微分后仍为。解:(2)思路:同上题。解:授课:XXX(3)思路:同上题。解:(4)思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:(5)思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解: (6)思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。授课:XXX解: (7)思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:(8)思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:(9)思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解: (10)思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解: (11)思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。授课:XXX解:(12)思路:详见第(10) 小题解答中间,解答略。(13)思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:(14)思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:(15)思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解:(16)思路: 将积分表达式写成,将看作一个整体变量积分即
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