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专题限时集训(九)直线与圆专题通关练(建议用时:30分钟)1(2019长春模拟)过点P(0,1)的直线l与圆(x1)2(y1)21相交于A,B两点,若|AB|,则该直线的斜率为()A1BCD2A由题意,设直线l的方程为ykx1,因为圆(x1)2(y1)21的圆心为(1,1),半径为r1,又弦长|AB|,所以圆心到直线的距离为d.所以有,解得k1.2已知圆M:x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交C外切 D相离B圆M:x2y22ay0(a0)可化为x2(ya)2a2,由题意,M(0,a)到直线xy0的距离d,所以a22,解得a2.所以圆M:x2(y2)24,所以两圆的圆心距为,半径和为3,半径差为1,故两圆相交3(2019江阴模拟)点P是直线xy20上的动点,点Q是圆x2y21上的动点,则线段PQ长的最小值为()A.1 B1 C.1 D2A根据题意,圆x2y21的圆心为(0,0),半径r1,圆心(0,0)到直线xy20的距离d,则线段PQ长的最小值为1,故选A.4一题多解在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线xky10与圆C:x2y24相交于A,B两点,若点M在圆C上,则实数k的值为()A2 B1 C0 D1C法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k21)y22ky30,则4k212(k21)0,y1y2,x1x2k(y1y2)2,因为,故M,又点M在圆C上,故4,解得k0.法二:由直线与圆相交于A,B两点,且点M在圆C上,得圆心C(0,0)到直线xky10的距离为半径的一半,为1,即d1,解得k0.5(2019惠州模拟)已知直线4x3y10被圆C:(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为4,且P为圆C上任意一点,点A为定点(2,0),则|PA|的最大值为()A. B5C2 D.D根据题意,圆C:(x3)2(ym)213的圆心C为(3,m),半径r,若直线4x3y10被圆C:(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为4,则圆心到直线的距离d1,则有1,解可得:m2或m(舍),则m2.点A为定点(2,0),则|AC|,则|PA|的最大值为|AC|r.故选D.6过点C(3,4)作圆x2y25的两条切线,切点分别为A,B,则点C到直线AB的距离为_4以OC为直径的圆的方程为2(y2)22,AB为圆C与圆O:x2y25的公共弦,所以AB的方程为x2y25,化简得3x4y50,所以点C到直线AB的距离d4.7已知直线l:ax3y120与圆M:x2y24y0相交于A,B两点,且AMB,则实数a_.直线l的方程可变形为yax4,所以直线l过定点(0,4),且该点在圆M上圆的方程可变形为x2(y2)24,所以圆心为M(0,2),半径为2.如图,因为AMB,所以AMB是等边三角形,且边长为2,高为,即圆心M到直线l的距离为,所以,解得a.8已知圆O:x2y24上到直线l:xya的距离等于1的点至少有2个,则实数a的取值范围为_(3,3)由圆的方程可知圆心为(0,0),半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离dr121,即d3,解得a(3,3)能力提升练(建议用时:15分钟)9(2019武汉模拟)已知圆C经过点A(0,0),B(7,7),圆心在直线yx上(1)求圆C的标准方程;(2)若直线l与圆C相切且与x,y轴截距相等,求直线l的方程解(1)根据题意,设圆C的圆心为(a,b),半径为r,则其标准方程为(xa)2(yb)2r2,因为圆C经过点A(0,0),B(7,7),圆心在直线yx上,则有解得则圆C的标准方程为(x3)2(y4)225.(2)若直线l与圆C相切且与x,y轴截距相等,分2种情况讨论:直线l经过原点,设直线l的方程为ykx,则有5,解得k,此时直线l的方程为yx;直线l不经过原点,设直线l的方程为xym0,则有5,解得m75或75,此时直线l的方程为xy570或xy570.综上可得:直线l的方程为yx或xy570或xy570.10(2019南昌模拟)如图,已知圆O的圆心在坐标原点,点M(,1)是圆O上的一点(1)求圆O的方程;(2)若过点P(0,1)的动直线l与圆O相交于A,B两点在平面直角坐标系xOy内,是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由解(1)点M(,1)是圆O上的一点,可得圆O的半径为2,则圆O的方程为x2y24.(2)若直线l的斜率为0,可得直线方程为y1,A(,1),B(,1),由|PA|PB|,可得|QA|QB|,即Q在y轴上,设Q(0,m),若过点P(0,1)的动直线l的斜率不存在,设直线方程为x0,则A(0,2),B(0,2),由可得,解得m1或4,由Q与P不重合,可得Q(0,4),下证斜率存在且不为0的直线与圆的交点,也满足成立若直线的斜率存在且不为0,可设直线方程为ykx1,联立圆x2y24,可得(1k2)x22kx30,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1x2,x1x2,由kQAkQB2k32k32k30,可得QA和QB关于y轴对称,即成立综上可得,存在定点Q,点Q的坐标为(0,4).题号内容押题依据1圆与圆的位置关系、圆的切线高考对圆与圆的位置关系及切线的考查属于冷考点内容,多年没直接考查,今年考查的可能性较大,本题以两圆的位置关系为背景,借助平面几何的基础知识,考查了数形结合思想,考查了考生的数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养2圆的方程、轨迹方程、直线与圆的位置关系、平面向量、直线与椭圆的位置关系圆与椭圆的综合问题,是近几年高考的一个热点本题以圆为背景,综合考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,考查逻辑推理和数学运算核心素养,综合性强【押题1】若O1:(x1)2(y2)21与O2:(xa)2(y2)24(aR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是_由两圆在点A处的切线互相垂直,可知两切线分别过另一圆的圆心,即AO1AO2.连接O1O2(图略),在RtAO1O2中,AO11,AO22,AO1AO2,所以O1O2,所以AO1O2斜边上的高h,所以AB2h.所以线段AB的长度是.【押题2】已知圆(x1)2y216的圆心为M,点P是圆M上的动点,点N(1,0),点G在线段MP上,且满足()()(1)求点G的轨迹C的方程;(2)过点D(0,2)的直线l与曲线C交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好过原点O,求直线l的方程解(1)因为()(),所以()()0,即220,所以|,所以|GM|GN|GM|GP|MP|42|MN|,所以点G在以M,N为焦点,长轴长为4的椭圆上可设椭圆方程为1(ab0),则2a4,2c2,即a2,c1,则b23,所以点G的轨迹C的方程为1.(2)由题意知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为ykx2,由消去y可得(34k2)x216kx40,由0得k2.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2,因为以AB为直径的圆恰好过原点O,所以OAOB,即0,则有x1x2y1y20,所以x1x2(kx12)(kx22)0,(1k2)x1x22k(x1x2)40,得40,即4(1k2)32k24(34k2)0,解得k2,满足(*)式,所以k.故直线l的方程为yx2.- 1 -
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