第六章 地图投影与高斯投影 本章主要介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影，同时简单介绍一般的投影概念，着重讲述我国采用的高斯投影，解决由球面到平面的换算问题，并借此解决相邻带的坐标换算，从而为控制测量的平差计算奠定基础。第一节 地图投影与高斯投影 测量工作的根本任务，便是正确测定地面点的坐标和测绘各种地形图。在椭球面上计算坐标远比在平面上复杂，而且地形图以及其他各种地图都是画在平面图纸上的。因此，人们往往将椭球面上的起始点大地坐标，各点间的椭球面方向和边长，统统按一定的数学（或几何）规则投影到一个平面上，以便在平面上进行计算和绘图。研究各种投影方法和投影公式及其特征的科学，叫做地图投影学。 在大地或控制测量中，常用以下投影公式进行点的坐标变换 （61）式中 B、L是椭球面上某一点的大地坐标，x，y是该点投影在平面上的直角坐标。 一、地图投影分类 必须指出，球面或椭球面都是不可展平的曲面，把这类曲面上的线段或图形投影到平面上，必然要产生变形，通常，变形可分为长度变形、角度变形以及由此派生的面积变形三种。地图投影时，虽然变形是不可避免的，但是人们可以根据制图的要求，设法消除或消弱某种变形，而保留乃至放大另一种变形，使各种投影具有各自不同的特征。因此，地图投影的种类颇多，按它们的变形特征，可区分为下列三种：（1） 正形投影使投影图形与其椭球面原形在极小范围内有相似的特征。 （2） 等面积投影使投影面上的面积与椭球面上的原面积保持不变。 （3） 等边投影自投影面上中心一点至所有其他各点的距离均无变形。 此外，投影可直接由地球椭球面投影至平面上，亦可先将地球椭球面投影至一个能够展平的曲面，如圆柱面、圆锥面等。然后再将其展平成平面图，因此，依投影方式，又可分为下列几种： （1）圆锥投影取圆锥形使其中心轴与地轴重合，并使圆锥面与地球上某一纬圈相切，然后将地球上的点、线投影与圆锥面上，这种投影叫做切圆锥投影。若将圆锥展平，则所有地球上的子午线投影均为辐射直线，而所有纬圈的投影，均为同心圆弧。在此种投影中，离相切的纬圈愈近的地区，其变形愈小。 （2）圆柱投影取圆柱形使其中心轴与地轴相合，并使圆柱面与地球赤道相切，将地球上点、线投影于圆柱面，再将圆柱展开，则椭球上子午线的投影，均为平行直线，纬圈投影均为与子午线投影相垂直的平行直线。具有正形特征的圆柱投影叫做墨卡托（Mercartor）投影。该投影广泛用于航海图。若使圆柱面与子午圈相切，则称做横轴圆柱投影。 （3）天顶投影将地面点、线投影于一与地球表面相切的平面，其切点往往位于投影地区的中心。该投影可保持中心点至其它各点间的方位角。 二、高斯投影的概念 高斯投影是正形投影的一种。正形投影也叫等角投影或相似投影，数学上称为保角变换。正形投影的一般条件是柯西黎曼微分方程。显然，高斯投影必须满足正形投影的一般条件。但是，有了此条件，并不能最后确定（61）式中的具体函数式。为此，还必须加入高斯投影本身的特定条件。如图61，设想有一个椭圆柱面套在地球椭球的外面，并与某一子午线相切（该子午线称为中央子午线），椭圆柱的中心轴通过椭球中心。将椭球面上的点、线投影到此圆柱上，并满足下述三个条件： （1）正形投影条件（柯西黎曼微分方程）； （2）中央子午线投影为直线； （3）中央子午线投影后长度不变。则称此投影为高斯投影。投影后，中央子午线和赤道的投影都是直线，分别为纵坐标轴（x轴）和横坐标轴（y轴），两者的交点O为坐标原点，这就构成了高斯平面直角坐标系，如图62所示。投影后点的坐标（x，y）可按一定的解析式计算得到。 高斯投影没有角度变形，在中央子午线上也没有长度变形，但除中央子午线外均存在长度变形，且相距中央子午线越远，长度变形越大。长度变形是有害的，虽然不能完全消除它，但要合理的加以限制，使其对测图和用图影响很小以至可以忽略，为此，应在一定范围内，选择中央子午线，采取分带投影的办法，即按一定的经差将地球表面分为若干带。我国采用的是将中央子午线左右各30或1.50划分为一带，称为“60带或30带”，各带均按高斯投影三个条件进行投影，因此各投影带将有自己的坐标轴和原点。 60带自00子午线（格林尼治子午线）起每隔经差60自西向东分带，依此编号为1，2，3，设带号为n，中央子午线的经度为L0，则有 （62）反之，若已知某点的经度为L，则该点所属带号可由下式 （63）按四舍五入规则计算。 30带是在60带的基础上分带的，其中央子午线一部分同60带的中央子午线重合，一部分同60带的分带子午线重合。有关规范中没有规定统一的编号。现仍用1、2、3、编号，并在带号前注以30带以示区别。自1.50子午线起每隔经差30自西向东分带，依此编号，设带号为，中央子午线的经度为,则： （64）同样，已知某点经度L求30带带号的公式为 （65）60带和30带的编号如图63所示。我国包含了西自750，东至1350范围的各投影带，共有11个60带，21个30带。 例：设某点的，求和 解： 为了避免横坐标y出现负值，规定将y值加上500000m，又为了区别各带坐标的不同，规定在y值（已加500000m）之前冠以带号和相当于对y值加上n1000000以y假定示之。称为统一坐标。例如，在60带的第20带中，y200.25m，则统一坐标。控制点（或大地点）成果表中给出的均是统一坐标。因此在实际换算时，则要去掉带号，减去500000m，恢复原来的数值，常称它为“自然值”。例如：在成果表中抄得y40428368.45m，则该点在第40带内，由于我国最东面的60带是23带，所以得知它是30带坐标，横坐标为71631.55m。至于纵坐标值，无论在哪一带都是由赤道起算的自然值。 由于分带，造成了边缘子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，使两侧相邻控制点的坐标系不统一，使用时很不方便。因此，在两个相邻的拼接处，规定要有重迭部分，即每一60带向东加宽（相当于1/10万地形图的经幅），向西加宽或（相当于1/5万或1/2.5万地形图的经幅）。这样就保证了在重迭部分有两套坐标和两套地形图，给边缘地区的地形拼接和使用、控制点的相互利用和跨带控制网的平差等都带来很大的方便。第二节 正形投影的一般条件 有了前面的高斯投影的概念，就可以将（61）式具体化了，也就是可以推导出高斯投影的实用数学表达式。为了推证公式的方便，本节先导出长度比的数学表达式，再引入等量纬度q，在此基础上进一步推导正形投影的基本公式。为下节推导高斯投影公式作准备。 长度比又名长度比例尺，是衡量地图投影变形大小的一种数量指标，其定义为投影面上无穷小线段ds与椭球面上相应的无穷小线段dS之比，以m表示 （66） 长度比是一个变量，在一般情况下，它不仅随点位的不同而变化，即使在同一点上，也随方向的不同而异。 正形投影在无穷小范围内保持投影前后的图形相似，其长度比m仅随点位而变化，而与方向无关。由此可推求正形投影的一般条件（或基本公式）。 图64为椭球面，图65为投影平面。在椭球面上有无限接近的两点P1（L，B）和P2（LdL，B+dB），投影后为和，dS为椭球面上无穷小线段，其方位角为A，投影在平面上为无穷小线段ds投影后仍为曲线，但其长度实际上与相应眩长的长度相差甚微，故可视为直线。 在椭球面上，过P1和P2点分别作子午圈和平行圈，由微小三角形，可得子午圈弧长微分和平行圈弧长微分 （67） 因为平行圈曲率半径r与卯酉曲率半径的关系为 故 （68）则有 （69） 式中 M和r都是纬度B的函数，为了简化以后公式推导过程，令 （610）则（69）式可简写为 （611） 在平面上，由图65所示，显然有 （612）故 （613） 由（610）式可知，q是大地纬度B的函数，这个q值叫做等量纬度，对（610）式积分得 （614） 等量纬度q得引入，是为了推求公式的方便，而实用上还是采用大地纬度B，最后结果公式仍要用B表示。为此，先导出等量纬度差与大地纬度差的关系式 由（614）式知 （615） 按泰勒级数将（615）式在B0处展开得 （616）式中，于是有 （617） 由（610）式知 根据上式可导出各高阶导数，结果如下 （618）式中。 将上述各阶导数代入（617）式，即得 （619）式中 （620） 利用级数回求法可得（619）式得反算公式为 （621）式中 （622） （619）式和（621）式即为等量纬度与大地纬度的关系式。上述公式在推求高斯投影反算公式时特别有用。现在再讨论正形投影的一般条件。 一点的大地纬度L是从起始大地子