GCT数学.线性代数(讲义) GCT数学.线性代数部分第一讲行列式一. 行列式的定义l 一阶行列式定义为l 二阶行列式定义为 l 在阶行列式中，划去元素所在的第行第列，剩余元素构成阶行列式，称为元素的余子式，记作l 令，称为的代数余子式l 阶行列式定义为二. 行列式的性质1.行列式中行列互换，其值不变2.行列式中两行对换，其值变号3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和由以上四条性质，还能推出下面几条性质5.行列式中如果有两行元素对应相等，则行列式的值为6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为7.行列式中如果有一行元素全为，则行列式的值为8.行列式中某行元素的倍加到另一行，其值不变 三.阶行列式展开性质等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即l 按列展开定理l 阶行列式的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于零即l 按列展开的性质四.特殊行列式l ; l 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同.五.计算行列式l 消零降阶法.l 消为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）.典型习题1. =（ ）。 （）2. 设的代数余子式，则=（ ） A 2 B 1 C- D（） 3.中的系数是（ ） A 2 B 1 C D（） 4.的常数项为（ ） A 4 B 2 C D0 （D）5设，则=（ ） A 4 B 2 C D0 （C）6（ ） A 4 B C D (B)7，则（ ）( ) A. 或 B. C. D. 且 (A)8. 设则 A .2M B. 2M C.8M D.-8M (C)9. 的根的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D.3 (B)10 的根的个数是（ ） A. B. C. D. (C)11. 设是方程 的三个根, 则行列式 ( )。 A. 0 B. 1 C. -4 D.2 (A)第二讲 矩 阵一.矩阵概念和运算1.矩阵的定义和相等.2.加法,数乘,乘法, 转置,方阵的幂乘的定义与性质.l 尤其是矩阵乘法不满足交换律和消去律.满足结合律,左(右)乘分配律等.l 若是阶方阵,则l 特殊方阵：上（下）三角阵，对角阵，单位阵。3.逆矩阵定义：都是阶方阵，满足 ，则称是的逆矩阵。记.l 可逆l 公式： l 可逆矩阵的运算性质4. 伴随矩阵l 定义：l 基本关系式：l 与逆矩阵的关系：l 行列式：l 秩：5矩阵方程l 设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，其解为l 设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，其解为二.初等变换l 矩阵的初等行（列）变换：（） 交换两行（列）；（） 用一个非零常数乘某一行（列）；（） 某行（列）的倍加到另一行（列）上 l (初等行变换)三.矩阵的秩1.定义l 在矩阵中，任取行列，位于这行列交叉处的个元素按其原来的次序组成一个阶行列式，称为矩阵的一个阶子式l 若矩阵中有一个阶子式不为零，而所有阶子式全为零，则称矩阵的秩为。矩阵的秩记作l 显然有 中有一个阶子式不为零；中所有阶子式全为零对于阶方阵，对于阶方阵，若，则称是满秩方阵2. 重要定理对矩阵施行初等变换不改变矩阵的秩3. 矩阵的秩的求法l 阶梯形矩阵满足以下条件的矩阵称为阶梯形：（） 所有零行都在矩阵的底部；（） 非零行的第一个元素称为主元，每个主元在前一行主元的右方；l (初等变换)阶梯形,则 中主元的个数4. 矩阵的秩有以下一些常用的性质：l .l l l 若，则，其中为矩阵的列数l 若可逆，则若可逆，则典型习题 都是阶阵,则下列结论不正确的是( )A . B. C. D. (A) 2.，且，求， (-108, 32/3)3, 则( ) 4.设则中第3行第2列的元素是 A. B. C. 1 D. (B)5.，则（ ） （）6. 都是阶阵,.则下列结论正确的是( ) A. B.或 C. D. (B)7设 .则下列结论不正确的是( ) A可逆. B. 不可逆. C.可逆 D.可逆 (B) 8. 设，则 () 9 是的伴随矩阵, ,则的第三行的行向量是（ ）. A. B. C. D. (C)10， 则（ ）。 (B) A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 11设，（ ）时 。 (A) A. -3 B. -2 C. 1 D. 3 12. 设则 ( ). (D) A. B. C. D. 13设 则（ ）。 (C) A.3 B. 2 C.1 D. 0 14 设,三阶矩阵,且满足,则( ). A. B. C. D. (A)第三讲 向 量一. 向量组 线性相关与线性无关1.向量组的线性组合与线性表示l 设是维向量，是数，则 称为向量的一个线性组合l 若,称可由线性表出l 称为向量的长度。若，则称为单位向量。向量组：,称为一组基本单位向量。 线性相关与线性无关定义 设是维向量，若存在不全为零的数，使得，则称线性相关否则称线性无关定理 若线性无关，而线性相关, 则可由线性表出,，且表示法惟一判断 l 设是维向量,线性相关 存在某个向量可被其余个向量线性表出l 个维向量线性相关l 个维向量必线性相关l 增加向量组向量的个数,不改变向量组的线性相关性.减少向量组向量的个数,不改变向量组的线性无关性.l 含有零向量的向量组必线性相关.l 含有两个相同向量的向量组必线性相关.l 一组基本单位向量：,是线性无关的。二.向量组的秩和极大线性无关组1.定义 设向量组是向量组的一个部分组满足）线性无关；）向量组的每一个向量都可以由向量组线性表出，则称部分组是向量组的一个极大线性无关组且向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩2.求法l 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化作阶梯形l 求极大线性无关组的步骤： 将向量依次按列写成矩阵； 对矩阵施行行初等变换，化作阶梯形； 阶梯形中主元所在列标对应到原向量构成一个极大线性无关组； 例如 (行初等变换)主元所在列是第列，第列，第列，因此的一个极大线性无关组是且3三向量组的秩与矩阵的秩l 设是矩阵，将矩阵的每个行看作行向量，矩阵的个行向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的行秩l 将矩阵的每个列看作列向量，矩阵的个列向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的列秩l 矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的秩（三秩相等）典型习题1下列向量组中线性相关性的向量组是（ ） A. B. C. D. , , , （D）2设向量组线性无关，下列向量组无关的是（ ）A B. C D. （A）3. 设向量组线性无关，而向量组线性相关，则 A. 3 B. 2 C.-2 D.-3 （D）4.设向量组线性无关，则是向量组线性无关的A. 充分必要条件 B. 充分条件，但非必要是条件C.必要条件，但非充分是条件 D. 既非充分条件，也非必要是条件（C）5. ( )时, 向量组 线性无关. A B。 C. D. 且 (D)6.设,则它们的一个极大线性无关组是( ) A.B. C. D. (D)7