二项分布的数学期望Xb(n,p)，其中n1,0p1. PX=k=C(n,k)*pk*(1-p)(n-k),k=0,1,.,n. EX=np,DX=np(1-p). 证明方法(一)：将X分解成n个相互独立的，都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和： X=X1+X2+.+Xn,Xib(1,p)，i=1,2,.,n. PXi=0=1-p,P(Xi=1)=p. EXi=0*(1-p)+1*p=p, E(Xi2)=02*(1-p)+12*p=p, DXi=E(Xi2)-(EXi)2=p-p2=p(1-p). EX=EX1+EX2+.+EXn=np, DX=DX1+DX2+.+DXn=np(1-p).证明方法(二)：EX=kb(k;n,p)=k*C(k,n)pkq(n-k) =npC(k-1,n-1)p(k-1)q(n-1-k+1) =npC(k,n-1)pkq(n-1-k) =npb(k;n-1,p) =np DX=npq 可用公式DX=EX2-(EX)2求出 EX2=k2b(k;n,p) =k(k-1)+kb(k;n,p) =k(k-1)b(k;n,p)+kb(k;n,p) =n(n-1)p2b(k;n-2,p)+np =n(n-1)p2+np=n2p2+npq =n2p2+npq 所以DX=EX2-(EX)2=n2p2+npq-n2p2 =npq二项分布和超几何分布的数学期望当XB(n，p)时，E(X) = rC pkqn - k = npC pk - 1qn - k = np(p + q)n - 1 = np 为求超几何分布的数学期望，我们先建立数学期望的基本性质：性质1 若aXb，则aE(X)b特别地，E(c) = c，这里的a，b，c是常数；性质2 线性性：对任意常数ci，i = 1, 2, , n，及b，有E(ciXi + b) = ciE(Xi) + b下面计算超几何分布XH(n，M，N)的数学期望设想一个相应的不放回抽样，令Xi = 则P(Xi = 1) = ，因此E(Xi) = ，而X = X1 + X2 + + Xn表示n次抽样中抽出的废品数，它服从超几何分布，利用性质2，得到E(X) = E(X1) + + E(Xn) =