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精品资料第二节平面向量的分解及向量的坐标表示1了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件知识梳理一、平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量a,有且只有一对实数1,2,满足a1e12e2,其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为e1,e2称1e12e2为e1,e2的线性组合二、平面向量的坐标表示在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a可表示成axiyj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量a的坐标,记作a(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标规定:(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量;(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关系三、平面向量的坐标运算1若a,b,则ab(x1x2,y1y2)2若A,B,则.3若a(x,y),则a(x,y)四、向量的运算向量的加减法、数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质,若a(x1,y1),b(x2,y2)来源:www.shulihua.net运算类型来源:www.shulihua.net几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2三角形法则ab(x1x2,y1y2)abba,(ab)ca(bc),向量的减法三角形法则ab(x1x2,y1y2)aba(b),数乘向量法a是一个向量满足:0时,a与a同向;0;当a与b异向时,0.|,的大小由a及b的大小确定因此,当a,b确定时,的符号与大小就确定了这就是实数乘向量中的几何意义基础自测1设平面向量a(3,5),b(2,1),则a2b()A(6,3) B(7,3)C(2,1) D(7,2)解析:a2b(3,5)2(2,1)(7,3)故选B.来源:www.shulihua.net答案:B2已知ABCD中,(3,7),(2,3),对角线AC与BD交于点O,则的坐标为()A. B.C. D.来源:www.shulihua.net解析:(2,3)(3,7)(1,10),.故选D.答案:D3已知向量a(2,3),b(x,6)共线,则x_.解析:依题意有3x2(6)0,得x4.答案:44已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足,则|_.解析:(),(),21.答案:211(2012安徽卷)在平面直角坐标系中,O(0,0),P(6,8),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量,则点Q的坐标是()A(7,) B(7,)C(4,2) D(4,2)解析:设xOP,则由题意知:xOQ(如图所示),|10.设(10cos ,10sin ),得cos ,sin ,则10cos,10sin(7,)故选A .答案:A2(2013北京卷)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若cab(,R),则_.解析:以向量a的起点为原点建直角坐标系,则a(1,1),b(6,2),c(1,3),根据cab(1,3)(1,1)(6,2)有61,23,解之得2且,故4.答案:41(2013揭阳二模)已知点A(1,5)和向量a(2,3),若3a,则点B的坐标为()A(7,4) B(7,14)C(5,4) D(5,14)解析:设B(x,y),由3a得(x1,y5)(6,9),故有解得故选D.答案:D2已知a(1,2),b(2,m),若ab,则|2a3b|等于()A. B4C3 D2答案:B
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