直线的方程知识讲解一、两点之间的距离公式教师内容：在学习两点间距离公式之前，建议教师将平面直角坐标系中的轴及轴上的两点间的距离求法作复习已知，则教师内容：由原点与任意点的距离导出两点间的距离公式：、两点间的距离通常用表示由勾股定理可知：若为任意两点，从点和分别向轴 和轴作垂线、和、，垂足分别为、，其中直线和相交于点，由勾股定理得：，从而得到平面直角坐标系中任意两点间的距离公式二、中点公式已知，则中点坐标为：，三、倾角与斜率1 直线的倾斜角的概念当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角特别地，当直线与轴平行或重合时，规定因此倾斜角的取值范围是2 直线的斜率：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，也就是直线与轴平行或重合时，；时，直线的倾斜角为锐角，此时，值增大，直线的倾斜角也随着增大；时，直线的倾斜角为钝角，此时，值增大，直线的倾斜角也随着增大；当直线与轴垂直时，不存在由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在；当是锐角时，例如，时，；时，学习了斜率之后，我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度3 直线的斜率公式：设，则：斜率公式：对于上面的斜率公式要注意下面五点： 当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； 与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； 斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； 当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合 求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到教师内容：直线的倾斜角和斜率是高中解析几何内容的开端，是用坐标法研究几何问题的初步，对基本概念要准确掌握，尤其是倾斜角和斜率之间的关系例子，判断对错：直线的倾斜角为，则它的斜率为；直线斜率为，则它的倾斜角为；因为所有的直线都有倾斜角，所以所有的直线都有斜率；因为平行于轴的直线的斜率不存在，所以平行于轴的直线的倾斜角不存在答案：都不对四、直线的方程教师内容：平面直角坐标系中的任意一条直线是否都可以用方程来表示呢？除了两点确定一条直线有两点式以外，结合我们刚学过的斜率，直线的方程可以有点斜式、斜截式和截距式，还有一种特殊的直线：与轴垂直的直线，上述直线方程都是的二元一次方程，因此可以总结出直线方程的一般式（，即不全为）重点是点斜式方程，直线方程的推导过程能体现出求轨迹方程的基本思路和步骤直线方程的形式：1点斜式方程：，由直线上一点和斜率确定直线方程；教师内容：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否当直线的倾斜角时，斜率不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线恰与轴平行或重合，这时直线上每个点的横坐标都等于，所以此时的方程为当直线的倾斜角时，此时直线的方程为当直线的倾斜角不为或时，可以直接代入方程求解点斜式是直线方程的重点2斜截式方程：，由直线的斜率和其在轴上的截距确定直线的方程；教师内容：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否并非所有直线在轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线在轴上就没有截距，即只有不与轴平行的直线在轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与轴垂直的直线的方程直线的斜截式方程是关于的函数，当时，该函数为常量函数；当时，该函数为一次函数直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例3两点式方程：，由直线上两点确定方程；教师内容：两点式方程需要注意的是当直线没有斜率或斜率为时，不能用两点式表示它的方程；可以把两点式的方程化为整式，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程；如过两点的直线方程可以求得，过两点的直线方程可以求得需要特别注意整式与两点式方程的区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展4截距式方程：，由直线在，轴上的截距，确定方程；教师内容：用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为，即两个截距均不能为，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度；要注意“截距相等”与“截距绝对值相等”是两个不同的概念，截距式中的截距可正、可负，不为5一般式方程：，可表示平面上所有直线教师内容：直线方程的几种特殊形式都有其使用的限性，解题过程中要能够根据不同的题设条件，灵活选用恰当的直线形式来求直线方程五、直线的位置关系1两条直线的位置关系（斜截式）：， 两条直线相交、平行与重合条件：相交的条件：平行的条件：且重合的条件：， 两条直线垂直的条件：2两条直线的位置关系（一般式）：，； 两条直线相交、平行与重合条件：相交的条件：或平行的条件：且或重合的条件：，或 两条直线垂直的条件：教师内容：两条直线相交、平行或重合的位置关系的判断由这两条直线对应的方程构成的方程组的解的情况来判断直线的一般式包含了直线的所有可能的情况，不需要考虑斜率的存在问题，而斜截式要注意这点相对而言，斜截式的几何特征比较明显，条件比较容易记忆讨论两条直线的垂直关系时，通过将直线平移到过原点，用数形结合的思想得出结论在分析斜率关系和计算时，应该强调斜率存在与斜率不存在时的情况对比六、点到线与线到线距离公式点到直线以及平行线之间的距离公式： 点到直线的距离的计算公式：教师内容：方法一：根据定义，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长，如图所示设点到直线的垂线为，垂足为，由可知的斜率为的方程为与联立解方程组解得交点，方法二：设，这时与轴、轴都相交如图：过作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，由，得，由三角形面积公式知：，当或时，以上公式仍适用两条平行线，之间的距离为，则教师内容：求两条平行线之间的距离，可通过在一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离即可典例精讲一选择题（共10小题）1（2018春孝感期末）已知点A（2，4），B（2，1），若直线l：kxy+（2k）=0与线段AB相交，则k的取值范围为（）A（，21，+）B（2，1）C（，12，+）D（1，2）【分析】根据题意，分析可得可以将原问题转化为A、B两点在直线l的异侧或在直线上，进而可得（2k+4+2k）（2k1+2k）0，解可得k的范围，即可得答案【解答】解：根据题意，点A（2，4），B（2，1），直线l：kxy+（2k）=0与线段AB相交，则A、B两点在直线l的异侧或在直线上，则有（2k+4+2k）（2k1+2k）0，解可得：k1或k2，故选：C2（2017秋青羊区校级月考）直线l经过A（2，1），B(1，m+1m-2)两点（m0），那么直线l的倾斜角的取值范围是（）A4，2)B0，4(2，)C0，4D0，4)(2，)【分析】设直线l的倾斜角为，0，）m0，由tan=m+1m-31-2=3(m+1m)，利用基本不等式的性质与三角函数的单调性即可得出【解答】解：设直线l的倾斜角为，0，）又m0，tan=m+1m-31-2=3(m+1m)32m1m=1，当且仅当m=1时取等号0，4(2，)故选：B3（2018春新华区校级期末）已知直线mx+ypq=0与xy+2qpq=0互相垂直，垂足坐标为（p，q），且p0，q0，则p+q的最小值为（）A1B4C8D9【分析】根据题意求得m=1，把坐标（p，q）代入直线方程得出p+qpq=0，再利用基本不等式求得p+q的最小值【解答】解：直线mx+ypq=0与xy+2qpq=0互相垂直，则m=1；又垂足坐标为（p，q），则p+qpq=0，p+q=pq；又p0，q0，且pq(p+q2)2=(p+q)24，p+q(p+q)24，当且仅当p=q时取“=”；解得p+q4，p+q的最小值为4故选：B4（2018春陆川县校级期末）已知直线l：kxy+2k=0过定点M，点P（x，y）在直线2x+y1=0上，则|MP|的最小值是（）A10B355C6D35【分析】令直线l的参数k的系数等于零，求得定点M的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得|MP|的最小值【解答】解：直线l：kxy+2k=0，即k（x1）y+2=0，过定点M（1，2），点P（x，y）在直线2x+y1=0上，y=12x，|MP|=(x-1)2+(1-2x-2)2=5x2+2x+2=5(x+15)2+95，故当x=15时，|MP|取得最小值为355，故选：B5（2018春陆川县校级期末）已知直线l：kxy+2k=0过定点M，点P（x，y）在直线2x+y1=0上，则|MP|的最小值是（）A10B355C6D35【分析】令直线l的参数k的系数等于零，求得定点M的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得|MP|的最小值【解答】解：直线l：kxy+2k=0，即k（x1）y+2=0，过定点M（1，2），点P（x，y）在直线2x+y1=0上，y=12x，|MP|=(x-1)2+(1-2x-2)2=5x2+2x+2=5(x+15)2+95，故当x=15时，|MP|取得最小值为355，故选：B6（2017春潮阳区校级期中）设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mxym+3=0交于点P（x，y），（点P与点A，B不重合），则PAB的面积最大值是（）A25B5C52D5【分析】动直线x+my=0，令y=0，解得x=0，因此此直线过定点A（0，0）动直线mxym+3=0，即m（x1）+3y=0，令x1=0，3y=0，可得此直线过定点B（1，3）分类讨论：m=0时，两条直线分别为x=0，y=3，交点P（0，3），可得SPAB=32m0时，两条直线的斜率分别为：1m，m，则1mm=1，因此两条直线相互垂直当PA=PB时，PAB的面积取得最大值即可得出【解答】解：动直线x+my=0，令y=0，解得x=0，因此此直线过定点A（0，0）动直线mxym+3=0，即m（x1）+3y=0，令x1=0，3y=0，解得x=1，y=3，因此此直线过定点B（1，3）m=0时，两条直线分别为x=0，y=3，交点P（0，3），SPAB=1213=32m0时，两条直线的斜率分别为：1m，m，则1mm=1，因此两条直线相互垂直当PA=PB时，PAB的面积取得最大值由2PA=AB=12+32=10解得PA=5SPAB=12PA2=52综上可得：PAB的面积最大值是52