线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在 ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因 A 1，A 2，B，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表 1.1。表 1.1 基因的相对频率爱斯基摩人 f1 i班图人 f 2 i英国人 f3i朝鲜人 f4 iA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合计1.0001.0001.0001.000问题一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。解有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记xkifki .由于对这四种群44体的每一种有f ki 1 ，所以我们得到xki21.这意味着下列四个向量的每个都i 1i 1是单位向量 .记x11x21x31x41a1x12x22x32x42, a2, a3, a4.x13x23x33x43x14x24x34x44Word 文档在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1 的球面上 .现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的 .如果我们把 a1 和2 之间的夹角记为，那么由于12，再由只公式，得a| a |=| a |=1cosa1 a2而0.53980.32160.00000.2943a1, a2.0.17780.34640.82280.8307故cosa1 a20.9187得23.2.按同样的方式，我们可以得到表1.2.表 1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人爱斯基摩人023.2 16.4 16.8 班图人23.2 09.8 20.4 英国人16.4 9.8 019.6 朝鲜人16.8 20.4 19.6 0由表 1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离” ，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2Euler的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由 Euler （欧拉）提出的 .解 建立如图 2.1 所示坐标系，设 A，B，C三点的坐标分别为（a1,b 1,c 1）,( a2 ,b 2,c 2) 和（ a3,b 3 ,c 3），并设四面体 O-ABC的六条棱长分别为 l , m,n, p, q, r. 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量 OA,OB, OC 组成右手系时， 以它们为棱的平行Word 文档1六面体的体积 V6 的6 . 而a1b1c1V6OA OB OC a2b2c2 .a3b3c3a1b1c1于是得6V a2b2c2 .a3b3c3将上式平方，得a1b1c1a1b1c136V 2a2b2c2a2b2c2a3b3c3a3b3c3a12b12c12a1a2b1b2c1c2a1a3b1b3c1c3a1a2b1b2c1c2a22b22c22a2a3b2 b3c2c3 .a1 a3b1b3c2 c3a2a3b2b3c2 c3a32b32c32根据向量的数量积的坐标表示，有222OA OAa1b1c1 ,OA OCa1a3b1b3OA OB a1a2 c1c3 , OB OB c2c3, OC OCb1b2c1c2 ,a22b22c22a32b32c32.于是OA OAOA OBOA OC36V 2OAOBOB OBOBOC .（2.1）OAOCOB OCOCOC由余弦定理，可行p2q 2n2OA OB p q cos2.同理OA OCp2r 2m2 , OB OCq2r 2l 2 .22将以上各式代入（ 2.1）式，得Word 文档p2p2q2n2p 2r 2m22236V 2p2q 2n2p2p2r 2l 2.（2.2）22p2r 2m2p2r 2l 2r 222这就是 Euler 的四面体体积公式 .例一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l=10m,m=15m,n=12m,p=14m,q=13m,r =11m.则p2 q2 n2 110.5,p2 r 2m246,p2 r 2 l 295.222代入（ 2.1）式，得196110.54636V 2110.5169951369829 .75.4695121于是V 238050.82639(195m3 )2 .即花岗岩巨石的体积约为195m3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积 .3 动物数量的按年龄段预测问题问题某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15 岁，将其分成三个年龄组：第一组， 0 5 岁；第二组， 6 10 岁；第三组， 11 15 岁 .动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1和214 .假设农场现有三个年龄段的动物各100 头，问 15 年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模因年龄分组为5 岁一段，故将时间周期也取为 5 年.15 年后就经过了 3 个时间周期 .设 i( k) 表示第k个时间周期的第i组年龄阶段动物的数xWord 文档量（ k=1，2，3；i=1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有x2(k )1 x1( k 1) , x3(k)1 x2(k 1)(k 1,2,3).24又因为某一时间周期， 第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有x1( k )4x2(k 1)3x3(k 1)( k1,2,3).于是我们得到递推关系式：用矩阵表示x1(k)x2(k)x3(k)x1(k )4x2(k 1)3x3k 1,x2k1x1( k 1) ,2x3(k )1x2(k 1).40 4 3 x1(k 1)100x2(k 1)(k 1,2,3).21x3(k 1)0 04则x(k )Lx (k 1)(k1,2,3).其中0431000L100,x (0 )1000 .211000004则有x1( k )x( k )x2(k )(k1,2,3),x3(k )Word 文档04310007000x(1)Lx (0)1001000500,21100025000404370002750x (2)Lx (1)1005003500,21250125004043275014375x( 3)Lx ( 2)10035001375 .21125875004结果分析15 年后，农场饲养的动物总数将达到16625 头，其中 05 岁的有 14375 头，占 86.47%，610 岁的有 1375 头，占 8.27%，11 15 岁的有 875头，占5.226%.15 年间 ，动物 总增 长16625-3000=13625 头，总 增长率 为1