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新教材适用高中必修数学A.基础达标1已知向量a(2,3),b(2,3),则下列结论正确的是()A向量a的终点坐标为(2,3)B向量a的起点坐标为(2,3)C向量a与b互为相反向量D向量a与b关于原点对称解析:选C.因为a(2,3),b(2,3)所以ab(2,3)(2,3)(0,0)0.所以ab.2给出下面几种说法:相等向量的坐标相同;平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标;一个坐标对应于唯一的一个向量;平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应其中正确说法的个数是()A1B2C3 D4解析:选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故错误3已知向量a(1,2),b(1,3),则ab的坐标是()A(2,1) B(0,5)C(0,1) D(2,5)解析:选B.ab(1,2)(1,3)(0,5)4若向量(1,2),(4,5),则()A(5,7) B(3,3)C(3,3) D(5,7)解析:选C.因为(4,5),所以(4,5),则(1,2)(4,5)(3,3),故选C.5已知A(3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在AOB内,且AOC45,设(1)(R),则的值为()A. B.C. D.解析:选C.如图所示,AOC45,设C(x,x),则(x,x)又A(3,0),B(0,2),(1)(3,22),.6设向量a,b满足a(1,1),|b|a|,且b与a的方向相反,则b的坐标为_解析:因为向量a与b的方向相反,且|b|a|,所以ba(1,1)(1,1)答案:(1,1)7已知向量(3,4),将其向左平移一个单位,再向上平移一个单位后,所得向量的坐标为_解析:因为向量的平移不改变向量的大小,故向量的坐标不发生变化答案:(3,4)8已知点A(1,5)和向量a(2,3),若3a,则点B的坐标为_解析:(1,5),3a(6,9),故(5,4),故点B的坐标为(5,4)答案:(5,4)9已知a(2,4),b(1,3),c(6,5),pa2bc.(1)求p的坐标;(2)若以a,b为基底,求p的表达式解:(1)p(2,4)2(1,3)(6,5)(6,3)(2)设pab(,R),则(6,3)(2,4)(1,3)(2,43),pa15b.10已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4),求点D的坐标,使这四点构成平行四边形的四个顶点解:如图,(1)当平行四边形为ABCD1时,设顶点D1的坐标为(x1,y1),(1(2),31)(1,2),(3x1,4y1),由,得(1,2)(3x1,4y1),即顶点D1的坐标为(2,2)(2)当平行四边形为ACD2B时,设顶点D2的坐标为(x2,y2),(5,3),(x21,y23),由,得(5,3)(x21,y23),顶点D2的坐标为(4,6)(3)当平行四边形为D3ACB时,设顶点D3的坐标为(x3,y3),(5,3),(1x3,3y3),由,得(5,3)(1x3,3y3),顶点D3的坐标为(6,0)综上,D点坐标为(2,2)或(4,6)或(6,0)B.能力提升1对于向量m(x1,y1),n(x2,y2),定义mn(x1x2,y1y2)已知a(2,4),且abab,那么向量b等于()A(2,) B(2,)C(2,) D(2,)解析:选A.设b(x,y),由新定义及abab,可得(2x,y4)(2x,4y),所以2x2x,y44y,解得x2,y,所以向量b(2,)2若,是一组基底,向量xy(x,yR),则称(x,y)为向量在基底,下的坐标,现已知向量a在基底p(1,1),q(2,1)下的坐标为(2,2),则向量a在另一组基底m(1,1),n(1,2)下的坐标为()A(2,0) B(0,2)C(2,0) D(0,2)解析:选D.由题意,得a2(1,1)2(2,1)(2,4),设axmyn,即(2,4)x(1,1)y(1,2)(xy,x2y),则解得故选D.3在ABC中,点P在BC上,且2,点Q是AC的中点,若(4,3),(1,5),则_.解析:(1,5)(4,3)(3,2),因为点Q是AC的中点,所以,所以(1,5)(3,2)(2,7)因为2,所以33(2,7)(6,21)答案:(6,21)4向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若cab(,R),则_.解析:以向量a的终点为原点,过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设一个小正方形网格的边长为1,则a(1,1),b(6,2),c(1,3)由cab,即(1,3)(1,1)(6,2),得61,23,故2,则4.答案:45已知向量(4,3),(3,1),点A(1,2)(1)求线段BD的中点M的坐标;(2)若点P(2,y)满足(R),求与y的值解:(1)设B(x1,y1),因为(4,3),A(1,2),所以(x11,y12)(4,3),所以所以所以B(3,1)同理可得D(4,3),设BD的中点M(x2,y2),则x2,y21,所以M(,1)(2)由(3,1)(2,y)(1,1y),(4,3)(3,1)(7,4),又(R),所以(1,1y)(7,4)(7,4),所以解得6(选做题)以原点O及点A(2,2)为顶点作一个等边AOB,求点B的坐标及向量的坐标解:因为AOB为等边三角形,且A(2,2),所以|4,因为在02范围内,以Ox为始边,OA为终边的角为,当点B在OA的上方时,以OB为终边的角为,由三角函数的定义得:(4cos ,4sin )(2,2)所以(2,2)(2,2)(0,4)当点B在OA的下方时,以OB为终边的角为,由三角函数的定义得:(0,4),所以(0,4)(2,2)(2,2)综上所述,点B的坐标为(2,2),的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0,4),的坐标为(2,2)
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