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专题一:三 角 函 数【知识脉络】: 定义函数性质图像定义域值域奇偶性单调性周期对称性形 状平 移伸 缩第一块:函数性质及图像教学目标:1、正弦、余弦、正切函数的性质,重点掌握上的函数的性质;2、定义域、值域,重点能求正切函数的定义域;3、能从图象上认识函数的各类性质,能用自己的语言把函数性质描述清楚,能写出来。4、理解平移及伸缩第二块:同角根本关系和诱导公式同角根本关系就掌握好三个公式:特别需要说明的是:平方关系中的开方运算,易错!诱导公式的记忆方法很简单,联系两角和及差来记就行!如:诱导公式的理解上,需从两角终边的位置关系来认识,如:中涉及两个角是和,它们的位置是关于原点对称,象限对应关系是一、三或二、四,所以正切符号一样,直接取等号。其它类似。第三块:三角变换和差公式:注意:1、倍半关系是相对的,如:,等,根据题目的需要来确定倍角还是半角;2几个常用的变式:,其中的范围根据需要来确定或,其中,的范围根据需要来确定【题型例如】:第一部份“三角函数的图象及性质 熟记定义、定义域、三角值的符号1、假设角的终边过点,那么以下不等式正确的选项是 A、 B、C、 D、2、假设角终边上有一点,那么为其中A、 B、 C、 D、3、假设,那么位于A、一、三象限 B、二、四象限 C、一、二象限 D、三、四象限4、角终边上一点,且,那么= 5、函数的定义域为 单调性:求单调区间是重点,三角的单调区间的求法是比拟特殊的,掌握好例题所示的方法;另一类题型为比拟大小,但都比拟简单。【例题1】1求函数的单调增区间解:由得,。所以,函数的单调增区间为:2求函数的单调减区间 。3求函数的单调区间 。7、函数的一个减区间是 。A、 B、 C、 D、8、在内,使函数有意义的范围是A、 B、 C、 D、9、,那么A、 B、 C、 D、10、假设直线的斜率满足:,那么直线的倾斜角的范围为 奇偶性:联系函数图像来理解奇偶性,即图像的对称性。 奇函数:,偶函数: 注意变化:如,。图像平移,可能会改变函数的奇偶性,也有可能不发生改变,如函数。观察图象,很容易得到正确的结论。11、假设函数为奇函数,那么的值为A、 B、 C、 D、12、假设函数为奇函数,那么的值为A、 B、 C、 D、 图像的对称性:注意观察图象,从图象上找出对称轴和对称中心的位置。x6pyo-p-12p3p4p5p-2p-3p-4p1p对称轴方程: 对称中心:x6pyo-p-12p3p4p5p-2p-3p-4p1p对称轴方程: 对称中心:理解:语义上,过顶点及X轴垂直的直线都是正、余弦函数的对称轴,而正、余弦曲线及X轴的每一个交点都是正、余弦函数的对称中心。函数性质上看,假设对称轴为,那么必为函数的最大或最小值;假设对称点为,那么。注意,平移产生的变化。13、函数的一条对称轴方程是A、 B、 C、 D、14、函数的一个对称中心是A、 B、 C、 D、15、函数的对称轴方程为 ,对称中心为 值域和最值:1、 掌握好根本函数的值域和最值情况1值域为,当时,;当时,。注解:联系图象或在象限内认识和记忆值域,效果会更好。2的值域为,当时,;当时,。注解:联系图象或在象限内认识和记忆值域,效果会更好。3的值域为,不存在最大值和最小值。2、理解:函数值域会因定义域的改变而改变,掌握好下面例题所示的方法。【例题2】假设,求以下函数的值域:1 2 316、假设,求函数的值域,并求出函数取最大值时的的取值集合。【题型例如】第二局部“同角根本关系和诱导公式 诱导公式:主要功能是用于化“大角超出为“小角 公式:略3、掌握两类根本型:1关于或的二次函数型【例题3】1求函数的最大值和最小值,并求出对应的的取值。解:,假设令,那么由得:17、求函数的最大值和最小值,并求出对应的的取值。2可转化为或【例题4】、形如的函数可转化为上面的型求以下函数的最值:1,2,3,4,5,6,7,8,【例题5】借助三角变换转化成上面的型求以下函数的最值:(1) 函数(2) 函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.4向量,18、,1设,那么为何值时,f(x)的最大值为4?2假设,求的取值范围。 周期性:1周期的符号形式:为非零常数。如,所以为正弦函数的周期。其它一些函数也是有周期的:2最小正周期:假设为函数的周期,那么也必为函数的周期,因此,函数的周期是有无数个的,其中正的最小的一个周期,称为函数的最小正周期,比方,正弦、余弦函数的最小正周期为,正切函数的最小正周期为3最小正周期的计算公式:对于或,那么;对于,那么。特别注意:也只有上面三种形式下的三角函数才能使用最小正周期的计算公式!19、求以下函数的最小正周期:1 23 4 5 672007年广东高考假设函数,那么是 A、最小正周期为的偶函数 B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的奇函数8 9 10 图像:1关于“五点作图法,以正弦函数为例进展说明。第一、,表一00100此表是根底,请注意总结“五点的规律或特征:第二、请画出函数在一个周期上的草图。处理思想,令,那么,类比表一即可。表二00100得到“五点分别为:第三、画出函数在区间上的草图。注意:及“第二的区别,“第二没有限定的取值范围,题中要求的“一个周期可以自己设定,但“第三中的范围是固定的.注意到这个给定的范围也正好是函数的一个周期。问题:怎么求出“五点呢?分析:首先注意到,这是函数的起点和终点,联系正弦曲线的变化规律,第二个点应该回到“平衡点类比及X轴的交点,第三个点应该是最低点,第四个点应该是“平衡点,第五个点应该是最高点,第六个点就是终点。于是得到下表:表三0211232三类图象变换第一、对称:知道几种常见的对称变换,不做深要求。及关于轴对称及关于轴对称及关于原点对称即为图象在轴下方的局部沿轴翻折,轴上方的图象不变化。即为图象轴右侧局部不变,左侧局部沿轴翻折形成。第二、平移:只是位置变化,函数性质中除奇偶性外,其它性质不变。横向平移:即。 为正那么向左平移,为负那么向右平移。纵向平移:即 为正那么向上平移,为负那么向下平移。第三、伸缩:有横向和纵向的伸缩,只要求掌握三角函数的伸缩变化。横向伸缩:假设,那么横向被压缩,导致周期变小; 假设,那么横向伸长,导致周期变大。纵向伸缩:假设,那么振幅变大; 假设,那么振幅变小。【例题6】认识的图象1几个名称:符号名称振幅周期频率相位初相 2平移伸缩的认识:举例变换过程:有两种,“先平移,再伸缩和“先伸缩,再平移先平移,再伸缩:先伸缩,再平移。说明:假设想更好、更清楚地认识这两个不同的过程一样的结果,最好的方法就是用“五点法作图,把上述过程中每一步都画一个图。20、1仿上写出的变化过程2为了得到函数的图象,只需将函数图像上的点 A、 横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变 B、横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变C、 纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变 D、纵坐标缩短为原来的倍,横坐标不变3为了得到函数的图象,只需将的图象上每一个点 A、横坐标向左平移个单位长度 B、横坐标向右平移个单位长度C、横坐标向左平移个单位长度 D、横坐标向右平移个单位长度4为了得到函数的图像,只需将余弦函数图像上各点 A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度C、向左平移个单位长度 D、向左平移个单位长度5为了得到函数的图像,只需将函数的图像上各点 A、 横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变 B、横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变C、 纵坐标伸长为原来的倍,横坐标不变 D、纵坐标缩短为原来的倍,横坐标不变6将函数的图像上各点向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的一半,纵坐标伸长为原来的4倍,那么所得到的图像的函数解析式为 A、 B、 C、 D、7将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像?写出的变换过程。8有以下四种变换方式:向左平移个单位长度,现将每个点的横坐标缩短为原来的倍;向右平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的倍;每个点的横坐标缩短为原来的倍,再向右平移个单位长度;每个点的横坐标缩短为原来的倍,再向左平移个单位长度。其中能将函数的图像变为函数的图像的是 A、和 B、和 C、和 D、和9将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像?【单元过关练习】 A卷总分值:130分 时间:120分钟一、选择题每题5分,共50分1、集合,那么使成立的是 A、 B、 C、 D、2、终边上一点,且,那么 A、 B、 C、 D、3、函数为 A、最小正周期为的奇
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