小量近似方法应用两则小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重要的方法，在解决问题时是非常 有用的。这里以两则应用为例，介绍常用的小量近似方法一一对一个小角量8来说，有 sin&=&, cos& = l；在研究一个普通量时，可以忽略小量。欧拉公式十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系： F2=F严 其中月代表我们所用的力,月代表我们所要对抗的力，e代表数2. 718-（自然对数的底），“代表绳和桩子之间的摩擦系数，&代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长 度跟弧的半径的比。若取 / = 0.2 ,& = 12兀，则= 18812000.所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轴上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极人的重物。 下面就欧拉公式作一证明：取一小段弧/为研究对彖，受力分析如图所示，F和F + AF为小弧两端所受张力,为柱体对绳的压力，/为静摩擦力。根据平衡方程，得:（1）2临界情况0很小，有.& A9 sui= 2 2cos= 12Fv = Fsm +（F +AF）sin2 2（F + Ar ）cos = r cos+所以AF = /即 AF =应6或= ge两边求和F2* = g6ZAliiF = “LACliiF2 -ln/ = JJ0故F严F0即两张力之比按包角呈指数变化。儒勒凡尔纳在马蒂斯桑多尔夫这部小说里，叙述竞技人力士马蒂夫用手拉住一 条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事，使读者印彖最深：突然出现了一个人，他抓住了 挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面。不到一分钟, 他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上。他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索 人约有十秒钟。最后，缆索断了。可是这十秒钟时间已经很足够：“特拉波科罗”号进水以 后，只轻微地擦了一下快艇，就向前驶了开去。理解了欧拉公式，我们明白：原来在这里帮助他们的，并不是马蒂夫异常的臂力，而是 绳和桩子之间的摩擦力。二直力场中光子频率变化已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力势能。若从地面上某处将一束 频率为的光射向其正上方相距为d的空间站，d远小于地球半径，令空间站接收到的光的 频率为，则差TZ二_,已知地球表面附近的重力加速度为甌（第29届全国中学 生物理竞赛预赛试卷第二大题第8小题）参考答案：一算”解析：d远小于地球半径，由能量守恒得hv = hvmgd 而 me2 = hvlj I/1则 hv = hvy+-gdV = -V c2这与题给参考答案似乎有点矛盾：V*-V = -V !L其实只要注意到 匕11 =算=孚空卑1 = 7x10-2 1,就不难理解以上两个结 V1 C （3.0 x10s）-论是相同的，即v-v = -v = -Vo事实上，能量守恒式子hv = hv+mgd中的也也是在变化的,同样也有mem 本题可以从引力势能角度考虑，思路会更加清晰：由能量守恒得利用 me2 = hv, Me = Av1, GM = gR2hR2hj“gR2 hvlR + d c2变形得CgR2（R + d）c2从而V-V = -VgR gFc2 （R + d）c2 _ gR 曲 一 （R + dc注意到d R则上昭，1一纱 _ R（R + d）c2其中 =10x6.4x10-=7x10_1oGa若以升降机为参考系，则人处于平衡状态。而由作出人的受力示意图可知， 人受到重力G与测力计对人的支持力F作用，但二力的合力并不为零，可见在相对于地面 做匀加速运动的升降机里，牛顿运动定律不再成立。牛顿运动定律不成立的参考系，称为非惯性系。牛顿运动定律成立的参考系，称为惯性 系。我们一般都以惯性系作为参考系来研究物体的运动情况，有时也需要研究非惯性系中物 体的运动，这时为了使牛顿第二定律仍然成立，便需要引入“惯性力”的概念。在图1中，以升降机作为参考系，质量为川的物体静止在测力计上，我们可以认为物 体除了受到重力G与测力计对物体支持力F外，还受到一个竖直向下的力F妁在这三个力共同作用下，物体保持平衡。这个尸檢就叫做惯性力。惯性力与通常意义下的“真实”的力不同，它是形式上引入的“假想”的力，没有施力 物体。在以加速度d相对于某一惯性系做加速运动的非惯性系中，所有的物体除受到“真实” 的力作用，还受到惯性力乍用，大小为叽 方向与非惯性系的加速度方向相反，即F 張=ma其中，负号表示惯性力的方向与非惯性系的加速度方向相反，加为物体的质量。例1如图2所示，一质量为倾角为的光滑斜面，放置在光滑水平面上，另有一 质量为川的小物体沿斜面下滑，斜面底边长为厶，当物体从斜面顶端由静止开始下滑到底端 时，求斜面具有多人的速度。图4分析与解如图3所示，对于m久 +nv72sin-mgcos 8=0如图4所示，对于M&sin&=Md联立式解得(M+m)gsinQ4 =；M+rnsmmgsincos弘= ；M+msiir&m对地的加速度处严沁竺竺 M+nisiir9.八(M+m)gsin2ci =asm 0= y 1M+msnr(9.,.卄宀厂r g sin 0 Jm 2 + nv sill2 0 + 2Mm sin2 0Am对地的加速度 ci = Ja； + a； = ；yM +/?siii 0对于m = a.t2cos。2_对于M v = a2tg得讨点購:爲例2长分别为L和L2的不可伸长的轻绳悬挂质量都是m的ni!和m2,如图5所示，原 先它们处于静止状态。突然，连接两绳的中间小球受到水平向右的冲击，短时间内获得水平 向右的初速度巾，求这一瞬间连接的绳的拉力为多少？0 LiIfll . Vo图6分析与解 小球mi受到冲击获得初速度巾，由于受到上端固定在O点的绳乙的牵制,而绕O点做圆周运动，此刻的加速度竖直向上，人小为厶。下面的小球心此刻相对于地面的速度为零，但以为参照，加2的速度为巾，方向向左，且绕皿做圆周运动，这时 2加2受到三个力的作用：竖直向下的重力吨，绳子的拉力门，惯性力F = ma = m乞,方向 厶竖直向下，如图6所示。由牛顿第二定律和向心力公式可得T,-mg-F=m 吕Vv_即 T,-mg-m=m-L2厂vT.=m g+ 丄+ 丄 -I b lJ通过这样两道例题我们可以发现，引入惯性力以后，町以使一些动力学问题的求解变得 简单，从而给解题带来很人的方便，因此在学习过程中，我们应该很好地掌握这种方法。练习如图7所示，一光滑细杆绕竖直轴以匀角速度3转动，细杆与竖直轴夹角保持 不变。一个相对细杆静止的小环自离地面高处沿细杆卞滑，求小球滑到细杆下端时的速度。 （参考答案：v=2gli-6y2h2taii2 0 ）奇妙的“摆线”世界首先看一道经典的带电质点在复合场中运动的题目：如图1所示，一带正电的塑料小球从小孔S处无初速地进入一个区域足够大的匀强磁场 中，磁场的磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里。已知小球的质量为m、带电量为q,试 问这个小球距边界AC的距离多大时，可能沿水平方向做匀速直线运动？此时速度多人？AscXXxXX .xXxXXXXXXXXXX BXXXXXXXXXXXXXXXXXX原解 当小球水平向右做匀速直线运动时，受力平衡qvB = mg由动能定理解以上两式得qB2今分析由以下分析可以看出，这个解法是错误的。小球刚进入磁场时初速度为零，在重力与洛伦兹力的共同作用下做曲线运动；当小球运 动方向水平时，竖直方向速度为零，小球在这一运动过程中的其他任一位置竖直分速度均不 为零；所以小球在竖直方向上的分运动经历了由加速再到减速的过程，小球运动方向水平时 仍有向上的加速度，之后运动轨迹向上偏转。因此，小球不可能做水平方向的匀速直线运动。正解小球刚进入磁场时，引入两个等值、反向的水平初速度V加在小球上。其中，与 向右的速度V相对应的洛伦兹力恰好与小球的重力平衡，即mg = qB 心竺 qB与向左的速度V相对应的洛伦兹力，使小球在纸面内做匀速圆周运动。这样，小球的运动就 看作是由纸面内逆时针方向的匀速圆周运动与水平向右的匀速直线运动复合而成。设小球做匀速圆周运动的半径为R,由牛顿运动定律和向心力公式得qvB =inv2R由两式得当小球运动方向水平向右时速度最人，此时两分运动速度方向相同 = 2” = 处 qB小球距边界AC的距离最人讨论那么小球实际运动的轨迹到底是怎样的呢？从以上求解过程容易联想到生活中的物理模型-一无滑动的纯滚动车轮轮缘上一个质点 的运动轨迹情况，下面来分析这个问题：如图2,建立平面直角坐标系xoy其初始位置在坐标原点，0为运动过程中转过的角度，设t时刻位置坐标为（x,y）。 由图分析其几何关系可知X = OA-Tc = PA-C =y = M7A-M7C = R（l-cos 0）这是一个关于o的参数方程。P点运动轨迹为图2中那条关于X=7lR对称的曲线，这条曲 线在数学中称为摆线，又称滚线、旋轮线。其中O0 = 2欣,最高点yM=2R.再回到文中的问题,对比可以看出，小球在磁场与重力场复合场中的运动轨迹应为摆线, 如图所示。事实上，两运动均看作同一平面的匀速圆周运动与匀速直线运动的合成。以小球初位置为坐标原点，竖直向下为y轴正方向，水平向右为x轴正方向，建立直角 坐标系xoy。参照图2中P点的参数方程，容易得到小球运动的参数方程亦gq2B2-cos。)当e=7i时，小球下落距离有最人值2m2g小球经时间器（由匀速圆周运动分运动可知）完成-次周期性运动，即运动轨 迹完成图3所示第一拱，以后重复做周期性运动。一道普通的物理题背后，竟隐藏着奇妙的“摆线”世界。公式= FS血应用范鬧的两则证明平面线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴作匀速转动时，线圈中会产生按正弦规律 变化的交变电动势，其最人值Q” = BSo）,其中E为匀强磁场的磁感应强度，S为线圈所I韦I面积，3为线圈转动的角速度。此式是在矩形线圈绕其对称轴转动情况下得到的，对于转 动轴不在对称轴上及线圈为其它任意形状的情况也是成立的。下面就这两种情况分别加以证 明：1转轴不在对称轴上的情况如图1所示，矩形线圈绕转轴OO以角速度3在磁感应强度为E的匀强磁场中作匀速 转动，在图示位置产生的感应电动势最人，因为在ab与cd中产生的感应电动势在同一闭合 电路中方向是相反的，所以