专题 1函数与导数、不等式第2讲 函数的图象与性质一.瞄准高考1.函数的奇偶性(1)判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,其次要考虑f(x)与f(x)的关系.(2)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:f(x)f(x)0,1.(3)奇偶函数的性质:定义域关于原点对称.f(x)为偶函数f(x)f(|x|).若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)0.2.函数的单调性函数的单调性可以从三个方面理解:(1)图形刻画:函数f(x)的图象上升或下降;(2)定性刻画:函数值随自变量的增大而增大或减小;(3)定量刻画,即定义.3.函数的图象函数图象关注三个方面:(1)作图:描点法和利用基本函数图象变换作图;(2)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等方面.(3)变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等.二.解析高考题型一函数的图象及应用 例1已知A、B、C为函数f(x)lgx图象上的三点,它们的横坐标依次为t、t1、t2(t1).(1)求证:点B在线段AC的上方;(2)将ABC的面积S表示为变量t的函数.【解答】 (1)设A、B、C三点的纵坐标分别为yA,yB,yC.则yAlgt,yBlg(t1),yClg(t2)(t1).线段AC中点的纵坐标ylg1).【点评】 图象是解决数学问题的重要工具,尤其是解决函数问题的有效手段.结合函数图象的函数类高考题是高考试题一个新的生长点.此类考题给人耳目一新的感觉.【变式1】已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且仅有两个实根,则实数a的取值范围是_.【解析】 本题主要考查函数的概念和性质,函数与方程的关系.关键是把f(x)xa0化为f(x)ax,再利用两个函数的交点个数与图象的关系得出实数a的取值范围.画出函数f(x)的图象,画出g(x)ax的图象,结合图象得a1时,关于x的方程f(x)xa0有且仅有两个实根.实数a的取值范围是(,1.题型二函数的性质及应用例2 设函数f(x)x2|2xa|(xR,a为实数)(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值；(2)设a2,求函数f(x)的最小值【思维启迪】 (1)f(x)为偶函数f(x)f(x)a0.(2)含绝对值的函数的实质是分段函数,可以通过对x取值的分类讨论,去掉绝对值符号,得到分段函数解(1)由已知f(x)f(x),即|2xa|2xa|,解得a0.(2)f(x)当xa时,f(x)x22xa(x1)2(a1),由a2,xa,得x1,从而x1,故f(x)在xa时单调递增,f(x)的最小值为f()；当xa时,f(x)x22xa(x1)2(a1),故当1x时,f(x)单调递增,当x0,知f(x)的最小值为a1.【探究提高】 (1)对于偶函数可得f(x)f(x)f(|x|)；对于奇函数,若x0有意义,则总有f(0)0.(2)含绝对值的函数一般都要去掉绝对值符号,化成分段函数(3)分段函数的单调性和最值问题,一般是在各段上分别说明,然后再合并说明【变式】 已知函数yx有如下性质：如果常数a0,那么该函数在(0,上是减函数,在,)上是增函数(1)如果函数yx在(0,4上是减函数,在4,)上是增函数,求实常数b的值；(2)设常数c1,4,求函数f(x)x(1x2)的最大值和最小值解(1)由函数yx的性质知:yx在(0,上是减函数,在 ,)上是增函数,4,2b1624,b4.(2)c1,4,1,2又f(x)x在(0,上是减函数,在,)上是增函数,在x1,2上,当x 时,函数取得最小值2 .又f(1)1c,f(2)2, f(2)f(1)1.当c1,2)时,f(2)f(1)0,f(2)f(1),此时f(x)的最大值为f(2)2.当c2时,f(2)f(1)0,f(2)f(1),此时f(x)的最大值为f(2)f(1)3.当c(2,4时,f(2)f(1)0,f(2)0；当x(,3)(2,)时,有f(x)1时,f(x)minf(a)a22a222a2,2a2a,即a2a20,解之得：1a1,综上所述：3a1.题型四指数,对数函数的综合问题例4已知kR,函数f(x)mxknx(00,所以有m2ak0.于是当k0时存在对称轴xa,其中alogmk.【点评】 指数函数、对数函数作为高中数学课本中的初等函数,一直是高考考查的重点.本题是以指数和指数函数相关知识为依托,重点考查与其复合的函数图象与性质,解题的关键是牢牢把握定义,并且在运算化简时一定要注意转化的合理性.三.感悟高考1.函数图象是函数的直观反映,是数形结合的基础,因此必须熟练掌握函数图象的作法,并能灵活运用图象来分析解决问题.常用的作图方法有描点法和变换法.解决函数图象问题常用的方法有:定量分析法、函数模型和定性分析法.2.讨论函数的性质必须坚持定义域优先原则,对于函数实际问题,注意挖掘实际问题中隐含的条件,避免忽略实际意义对定义域的影响.3. 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,要深刻理解它们之间的相互关系,能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题,高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中,并且大都出现在解答题中4.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的范围对于幂函数,掌握好考纲中列出的五种常用的幂函数即可5.运用函数性质解题时,应注意:数形结合,扬长避短;等价转化,迅速破解;含参变量,分类讨论,全面考虑.四.备战高考1. 已知函数f(x)则f(2log23)的值为 .【解析】1log232,32log234,根据条件可得,f(2log23)f(3log23)3log23log23.2. 设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x1对称,且当x1时,f(x)2xx,则有f,f,f有大小关系为 . 【解析】 f(x)2xln21,当x1时f(x)2xln212ln21ln410,故函数f(x)在1,)上单调递增,又fff,fff,故fff,3. 2010山东卷 设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)2x2xb(b为常数),则f(1)等于 .【解析】 D因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)2020