第一讲线段、角的计算与证明问题 (本卷须知1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。2、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸【前言】中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档 题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。大家研究今年的北 京一模就会发现，第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的 计算与证明开始的。城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题都是标准 的梯形，四边形中线段角的计算证明题。剩下的7个区县题那么将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说，线段角问题就 是中考数学有难度题的排头兵。 对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要 的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对各区县一模真题进 行总结归纳，分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。第一部分真题精讲【例1】2017，崇文，一模如图，梯形ABCD中，AD / BC ,BD =CD, NBDC =90 AD =3, BC =8、求 AB 的长、【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似，直 角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB的是AD BC以及 BDC是等腰直角三角形，所以要把未知的AB也放在条件当中去考察.做AE, DF垂直于BC那么很轻易发现我们将 AB带入到了一个有大量条件的直角三角形当中.于是有解如下.【解析】作 AE _ BC 于 E, DF _ BC 于 F.AE / DFV AD / BC,四边形AEFD是矩形、EF 二 AD =3, AE 二 DF .:BD =CD, DF _ BC, DF是厶BDC的BC边上的中线、1:NBDC =90, DF = BC =BF =4.2.AE =4, BE =BF EF =4-3=1.在 Rt ABE 中，AB2 =AE2 BE2.AB F42 U17.【例2】2017，海淀，一模:如图，在直角梯形 ABCD中，AD / BC，乙DCB =90 ， AC 一 BD于点,DC =2,BC =4，求 ad 的长.【思路分析】这道题给出了梯形两对角线的关系求梯形上底对于这种对角线之间 或者和其他线段角有特殊关系例如对角线平分某角的题，一般思路是将对角线提出 来构造一个三角形对于此题来说，直接将 AC向右平移，构造一个以 D为直角顶点的直 角三角形这样就将AD转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一，而另一条线段BC是的于是问题迎刃而解【解析】过点D作DE / /AC交BC的延长线于点E . ./BDE ZBOCAC _ BD 于点 OZBOC =90AD /BC四边形aced为平行四边形AD 二CE.乙BDE =90 上DCB =90DC BC CEDC =2, BC =4-CE =1AD =1此题还有许多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明 ACD和厶DBC相似，从而利用比例关系直接求出CD有兴趣的考生可以多发散思维去研究。【例3】2017，东城，一模如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC , B =90 , AD=2, BC =5 , e 为 DC 中点，tanC 二43、求AE的长度【思路分析】这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛 题。乍看之下好象直接过 D做垂线之类的方法不行那该怎样做辅助线呢？答案就隐藏 在E是中点这个条件中.在梯形中，一腰中点是很特殊的.一方面中点本身是多对全等三 角形的公共点，另一方面中点和其他底，腰的中点连线就是一些三角形的中线，利用中 点的比例关系就可以将条件代入 比如这道题，过中点E做BC的垂线，那么这条垂线与 AD延长线，BC就构成了两个全等的直角三角形.并且这两个直角三角形的一个锐角的正 切值是已经给出的于是得解.C【解析】过点E作BC的垂线交于BC点F ,交AD的延长线于点M .在梯形ABCD中，AD / BC , E是DC的中点.M =. MFC,DE =CE在.MDE和FCE中，M ZMFC: ZDEM ZCEFDE =CE-MDE 幻. FCEEF 二ME,DM 二CF3.AD =2 , BC = 5DM 二CF 二一2在Rt =FCE中tan C =4 =巨3 CF ,EF =ME =2.在RL1AME中AE-22652【总结】以上三道真题，都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形 的组合，从而达到利用求未知的目的 .一般来说，梯形的辅助线主要有以下 5类：过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+ 矩形平移一腰，分梯形为平行四边形+三角形延长梯形两腰交于一点构造三角形平移对角线，转化为平行四边形+三角形连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边 垂线构筑两个全等的直角三角形其实思路也以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，是一样的。通过做辅助线使得角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例 题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。【例4】2017，延庆，一模如图，在梯形ABCD中，AB II DC , Db平分 ADC ,过点A作AE II BD，交CD的延长线于点E，且一C =2-E，一BDC =30 , AD =3，求CD的长、AB【思路分析】此题相对比较简单，不需要做辅助线就可以得出结果。但是题目中给 的条件都是此类角度问题的基本条件。例如对角线平分某角，然后有角度之间的关系。 面对这种题目还是需要将的角度关系理顺。首先根据题目中条件，尤其是利用平行线这 一条件，可以得出见下图角C与角1, 2, 3以及角E的关系。于是一系列转化过后, 发现角C= 60度，即三角形DBC为RT三角形。于是得解。【解析】：/ AE II BD1 = 3 , 2 E/ . 1 Z2.3 二.EADC Z3=2E.乙 C =2EEADC /BCD =60.梯形ABCD是等腰梯形BC 二 AD 二 3 N2 =30 厶BCD =60 &ZDBC =90在Rt DBC中-CD =6【例5】2017，西城，一模:PA = JT , PB=4，以AB为一边作正方形 ABCD使P、D两点落在直线 AB的两侧.如图，当/ APB= 45。时，求 AB及PD的长;D压轴题的第一小问。 往意味着难度并不 有的时候往往比函 较容易，过A做BP APB分成两个有很 了。PD所在的三角【思路分析】这是去年西城一模的 如果线段角的计算出现在中间部分， 往 会太高。但是一旦出现在压轴题， 那么 数题，方程题更为棘手。这题求 AB比 垂线，利用等腰直角三角形的性质， 将 多量的RT。但是求PD时候就很麻烦形PAD是个钝角三角形，所以就需要我们将PD放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD的直角三角形，最简单的就是过 P做DA延长线的垂线交 DA于F, DF交PB于G这样一来，得到了 PFAAAGE等多个RTAo于是与已求出的 AB等量产生了关系，得解。【解析】：如图，作AEL PB于点E、AC APE中，/ APE= 45, PA = ；2 ,AE 二PA sin ./PE =、22 =12 ,厂迈PE =PA cos/APE *2=12 、/ PB =4,-BE =PB -PE =3、在 RTABE中，/ AEB= 90,AB 二.AE2 BE2 = 10、如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F,设DA的延长线交PB于 G在RT AEG中，可得AGAEcos /EAGAE cosZABE这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系12EGPG 二 PB-BE-EG -3 ,3、PF 二 PG cos FPG 二 PG cos ABE 二在RT PFG中，可得FG15、【总结】由此我们可以看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下都是要 将角度通过平行，垂直等关系过度给未知角度。所以，构建辅助线一般也是从这个思路 出发，利用一些特殊图形中的特殊角关系例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。第二部分发散思考通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我 们自己动手做一些题目。希望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案【思考1】如图，在梯形 ABCD中，AD/ BC, AB = CD、假设AC丄BD,AD+ BC= 10、3，且 ABC =60，求 CD的长、【思路分析】前面我已经分析过，梯形问题无非也就那 么几种辅助线的做法。此题求腰，所以自然是先将腰放在某 个RT三角形中。另外遇到对角线垂直这类问题，一般都是平 移某一条对角线以构造更大的一个 RT三角形，所以此题需要 两条辅助线。在这类问题中，辅助线的方式往往需要交叉运 用，如果思想放不开，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。【解法见后文】【思考 2】如图，梯形 ABCD中, A/ BC,Z B= 30,/ C= 60 , E, M F, N 分别是 AB, BC, CD, DA的中点，BC= 7, MN= 3,求 EF【思路分析】此题有一定难度，要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法，也对三 点共线提出了要求。假设求 EF,因为BC所以只需求出 AD即可。由题目所给角 B,角 C的度数，应该自然联想到直角三角形中求解。解法见后点E、AE求AC的值;假设 AB =a , FB =EC【思考3】SBC ,延长BC到D，使CD二BC、取AB的中点F ,连结FD交AC于【思路分析】求比例关系，关系BC= CD,又有F中点，所以需要做辅助线，利用这些关系来构造数个相似三角形就 成了获得比例的关键。解法见后【思考4】如图3, ABC中,/ A= 90, D为斜边BC的中点，E, F分别为AB,AC上的点，且 DEL DF,假设BE= 3, CF= 4,试求EF的长、B D【思路分析】中点问题是中考几何中的大热点，几乎年年考。有中点自然有中线， 而倍长中线方法也成为解题的关键。将三角形的中线延长一倍，刚好可以构造出两个全等三角形，很多问题就可以轻松求解。此题中，D为中点，所以大家可以