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柯西(Cauchy)中值定理:设函数5:、:满足:在闭区间乩训上连续;在开区间内可导;对任意存那么山山内至少有一点上 八:!,使得I 心一.灼门一内柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,是微分学的基本定理之一。在柯西中值定理中,若取g(x)=x时,则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相 同。因此,拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例;反之,柯西中值定理可看作是拉 格朗日中值定理的推广。我将从两方面对其进行解释:1几何理解在满足定理条件的前提下,函数f(x)上必有一点的切线与二二在处对应的两点和;mu点的连线平行):等号前为、=;山二对应两点的连线斜率,等号后为匚门上一点的导数的值,也就是门上一点的斜率,两斜 率相等,两线平行。2代数理解 我们将雷函数求导,得到众所周知f(x)函数记录的其实就是川 函数在每一个瞬间的变化状态。即,在 = I这一瞬间广雷进行了程度为门门的变化, 在丁二忙这一瞬间川进行了程度为门的变化。函数由几“变化到厂妙的过程, 其实就是凡函数在山区间中记录的变化状态的依次累加,就是对函数在肚山区 间的值进行积分的过程。那么,将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均,这个平 均值的数值一定在广的某一点上出现过(即厂任),因为(伐)连续,则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间(a到b)的长度 就等于这个 变化的变化量/:,:|_/门。即所谓的必有一使-.。即,沙上函数的变化量内函数变化状态的平均值乘以区间长度。
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