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设计数学挑战性问题的几点体会于都县教研室 曾祥品何谓“挑战”?汉语词典有三种解释:激怒敌人出来打仗;刺激对方出来和自己较量;鼓励对方和自己竞赛。数学课程标准认为:“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”如果我们从数学教学的角度来理解的话,所谓“挑战”就是要能激励学生主动地进行数学活动。那么“挑战性”问题,就是能激励学生主动地进行数学活动的问题。美国数学家哈尔莫斯说过:“问题是数学的心脏。”学生的数学意识、实践能力和创新精神,是在经历提出问题、理解问题和解决问题中形成与发展的。可见,一个好的、特别是富有挑战性的问题,对学生展开探究过程、理解掌握知识、形成个性品质、培养创新能力等方面都具有非常重要的意义。目前,小学数学课本中的习题或问题,大致可以分为“常规问题”和为学有余力的学生提供的思考题。其中绝大部分是“常规问题”,即这类习题或问题是教师已经在课堂上提供了典范解法,而学生只不过是应用这种典范解法去解答一系列类似的“问题”。正因为如此,华东师大数学教授张奠宙指出:“数学课本中为日常训练技巧等设计的习题不是真正的问题,而真正的问题应适合于学习发现和探究的技巧,适合于进行数学的原始发现以及学习如何学。”综上可知,一方面,问题在数学教学中居核心地位;另一方面,学生日常解答的数学习题几乎都不是“真正的”问题。如此这般,何以达成数学课程目标!显然,如何使数学习题改造成为“真正的”数学问题,也就是我们广大数学教师必须认真思考的问题。下面,笔者就一般的数学习题改造设计为数学挑战性问题,谈几点粗浅体会,并请教于同行。一、从应用的角度设计例1:百货商店卖出4箱文具盒,每箱20个,一共卖了960元,每个文具盒的价钱是多少元?这是两步计算的连除应用题,事件虽说是实际应用问题,但解答过程无需“动态”的思考,缺泛挑战性,应用性也不强。可把它改造为:张阿姨要新开一家文具商店,从外地买入4箱文具盒,每箱20个,一共用去960元。这些文具盒卖出时,你认为每个应卖多少元比较合适,为什么?解答这道题不是连除算出得数就了事,而必须联系商品买卖交易的过程。如果从赢利来思考,卖出的单价应高于买入的,并还应考虑价格差的大小;如果从商店新开张要先吸引顾客来思考,可以就买入的价格甚至低于买入的价格卖出。例2:两地相距1200米,小东和小英同时从两地出发,相对走来。小东每分钟走50米,小英每分钟走30米。经过几分钟两人相遇?相遇问题的特征过于明显,容易使学生套用解题模式,可把它改造为:小东住山上,小英住山下,连通两家的一条小路长1200米。小东下山每分钟走50米,小英上山每分钟走30米。星期天,两人在家互通电话,商定立即交换课外书。两人怎样才能更快拿到对方的课外书?从两人放下电话算起,拿到对方课外书的时间最少是多少分钟?(只考虑步行的情况)小英上山的速度比小东下山慢,所以应该让小东带着课外书下山更快,但最快还是两人同时出发相对走来。这就是相遇问题在实际生活中的运用。二、从开放的角度设计例3:小东住在学校的东边,离学校3千米。小英住在学校的西边,离学校7千米。小东家离小英家多少千米?如果弱化条件,去掉学校在小东和小英家之间,题目可改为:小东家、小英家和学校都同在一条直道旁边。小东家离学校3千米,小英家离学校7千米。小东家离小英家多少千米?如果进一步弱化条件,去掉小东家、小英家和学校在一条直线上,题目还可改成:小东家离学校3千米,小英家离学校7千米。小东家离小英家多少千米?通过这样的改造,一年级一步计算的加法应用题就变成了一道可能要利用解析几何、微积分才能解决的问题,可见把“常规问题”改成开放性问题,解题极具挑战性。例4:给直径0.95米的水缸做一个木盖,木盖的直径比缸口直径大5厘米。木盖的面积是多少平方米?去掉木盖为圆形这个条件,题目可设计为:学校为了方便食堂用水,买回一个直径0.95米(含边沿)的大水缸。现在要给这个水缸配上一个木盖,请你出出注意:木盖应做成什么形状的(并说明有关长度),它的面积是多少?这道题的开放度较大,就木盖的形状而言,可以是圆形的,也可以是正方形或长方形的,要是把水缸放在房角,木盖还可以是等腰直角三角形;就木盖的面积而言,设计的形状不同面积也不同,就是形状相同,由于各人选取的有关数据不同面积也会不同。三、从操作的角度设计例5:把9块饼平均分给8个同学,每人分得几块?对高年级的学生来说,解答这种题目不费吹灰之力,哪里还有什么“问题”可言。因此,可从操作的角度改造上题,让学生动手分一分。比如:有9块饼(如下图),要平均分给包括小明在内的8个同学,怎样分呢?请你用画线的方法在图上分一分;把分给小明的那些饼涂黑;对照你的分法,算一算小明分得多少块?让学生动手画一画、分一分,其思考程度远远大于只列一道“98”这样的算式。并且就此题来说,分的方法不同,计算的方法也不同。比如,可以把每块饼平均分成8份,小明每块里面分得,共分得91(块);也可以先把4块饼每块平均分成两份,小明分得一块里面的,剩下的5块每块平均分成8份,小明分得每块里面的,共分得51 (块)。例6:量一量,下面图(1)圆的直径是多少? (1) (2)这道操作题学生根据“两端都在圆上的线段,直径是最长的一条”,加上正确使用直尺度量就能解决问题。如果从动手画圆来考虑,可把它改造为:小明看见黑板上有一个残缺的圆(上图2),想把它补完整,可又不知怎样动手,你能帮他把这个圆画完整吗?这样一改造,不但要确定直径,还要确定圆心,最后还要用圆规画圆,几乎综合了圆的特征和圆的画法的全部知识点。四、从探索的角度设计例7:一块长方形铁皮,长60厘米,宽40厘米。像下图那样从四个角切掉边长为5厘米的正方形,然后做成盒子。这个盒子的容积有多少毫升?四个角切掉的边长是多少时,做成盒子的容积会更大呢?这样的探究学生完全可以通过“猜测验证”来完成。所以可把题目设计为:如果在长方形铁皮的四个角上各切掉一个正方形,就可以把这块铁皮做成一个无盖的长方体盒子(如下图)。 先切掉四个角上的正方形,再沿虚线往上折,然后电捍接缝。 王师傅现有一块长60厘米,宽40厘米的铁皮,想做成一个容积尽可能大一些的盒子,请你按上面介绍的方法为王师傅搞出一个设计来:铁皮四个角上切掉的小正方形的边长是多少厘米?这样做成的盒子容积是多少毫升?例8:计算改造为:用、四个分数和、三个运算符号,可以组成如 “”等算式。请你也用这些分数和运算符号组成一个算式,并使得数比上面算式的得数大。你能找出得数最大的算式吗?改造后的题目从知识来看,综合运用了分数大小的比较、四则计算的意义以及积、商、差变化的一些性质;从方法来看,必须先估计猜测,再计算对比验证,使学生有了探索的空间。五、从表述的角度设计例9:右图是有哪些图形组成的?数学课程标准强调数学交流的重要,在简单几何知识的学习中,要求学生能描述图形的相互位置关系。就此,可把上题设计为:小明画了一个漂亮的图案(如上图),他想打电话将这个图的形状告诉同学,你能帮助小明描述这一形状吗?当然,把“常规问题”改造成为“挑战性问题”,方法是多种多样的。但有一点必须注意,改造后的问题不能是偏题、怪题,而只能是一种不太难但又有琢磨味的题目,只能更有利于学生的动手实践、自主探索与合作交流。
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