第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析Z变换的定义和收敛 典型信号的z变换Z变换的性质幂级数展幵求Z逆变换，部分分式法围线积分法系统函数 H(Zh 由零极点决定系统的时域特 由零极点决定系统的频域特由零极点决定系统的稳定性例题?例题1：求z变换 ?例题2：求逆变换 ?例题3：求系统的响应 ?例题4：求系统函数及频率响应等 ?例题5：零极点，初值定理例8-1利用性质求序列的z变换 xn二n-2un方法一：利用典型序列的z变换及线性性质求解Zn - 2 u n 1 = Z bu n -2u n 】 z 2z_ 2(z-1) z-1 3z2z2(z-仃方法二：利用z变换时移性质直接求解若Zx n丄X z则_iZx n m un 丄zx z z x k zZxn-mun-m l-zX zm _1ZX n m u n 丄 znX z - zn、xkz，k=0Zx n m u n m 丄 znX z由上式可见， x n u n 的右移序列是 xn-mun-m 而不是 x n - m u n，只有当x n为因果序列时，二者才 相同；x n u n 的左移序列是 x n m u n m 而不是 x n m u n， 只有当x n为有始序列n ： m，x n = 0时，二者才相同。Zn-2un =z/z 2 zV-1)z zV 2)z2(z-1)3z - 2z2,2(z 1 )方法三把原序列如下表示 n2 u n二n2 u n21-2： n i门n1所以-1zZln 2unF 3z-2z2例8-21 + zJX z 二r-1 - _zJ +-z6 6z1 2，求其逆变换。方法一：因为X(z)不是真分式，首先把X(z)写成多项式与真分式两相之和的形式，即11 1z -Xz 二Qz F1z=1625, 1z z 6 6其中11 1z_F1 z 二 65 寫251z z6 6A1A211z- z-一23(1)z -FNz) 2丿9(1、1 =二人2 =z -FJz)zP 213丿81z 二11 1z -25111 所以6623x n i；= Z Q zZ Ft z 1二 nn J8n_J -|方法二观察X(z)的分子多项式的根，其中含有一个零点为z=0，在这种情况下可写成 红的形式，使其变为真分 式，即C1 C2z25z 丄6 61z -2式中Ci1、X(z)C21、X(z)9z8zz所以原序列为Xz)】=I汇两种方法求逆z变换，其结果完全一致。例8-3 描述某离散系统的差分方程为yn 3y 2y2 x n且yO =0,y1 =2；设激励x n A 2n u n ；求响应序列 yn 并指出零输入响 应与零状态响应。对差分方程取单边z变换Y z 3zY z y - 1 】2z z1 y - 1 y - 2 丄 X zYz13宀2Yzs zYzi z3y - 1 2y - 2 2y - z11 3z 1 2z 2式中Yzs-zf只与激励有关，称为零状态响应的变换式；丫方z3y1 2y2 2y乙1 3z， 2z2仅仅与起始状态有关，称为零输入响应的变换式(1)式表明需要条件y-1,y-2,而已知条件是y0=0,y1=2,为此可用迭代法把y0 =01 =2代入原方程，即y(0 )= x(0 彳丫卜1 2y(-2 )、y(1 )=x(1 )-3y(0 )-2y(-1 ) 解得：13z-2 z 23 z 1yl-1 )=0, y(-2 )=?由Yzs z =X z1 21 3z 2zz3整理得Yzs z 二z - 2_z1 3z_1 2z，z - 2 z2 3z 2Yzs zA1A2A3zz- 2z 2 z 1q-,A2 =1,A3求得系数A1 二33(a)求零状态响应z 1 z故得Yzs(z)r则系统的零状态响应yzs n 二 Z 1 Yzs z 丄13 2n2n(b)求零输入响应1Yzi z 二_ 11 3z 1 2z2把yT =0, y-2 =-代入Yzi z的表达式，得用部分分式展开法，得丫冲一 2 土+1z+ 2 z + 1则系统的零输入响应y/n )= Z 二 Yzi(z)】=一2汉(一2)n + ( 1 f Un)(c)求全响应(1 f】u(n )十 L2(2)n+(1)n】u(n)y n = yzi nyzs n=匸 X 2n 十(-2 )n - 1 江33 2 n n 1=x ( 1) + ( 2 n iu(n )+江 2nu(n ) 3自由响应强迫响应例8-4离散系统如图（a）所示,（1）（2）（3）（4）（5）列写系统差分方程的表示式；求系统函数H（z）；画H（z）的零、极点分布图并指出收敛域; 求系统的单位样值响应；求该系统的频率响应。xnzai 0.5（1）列写系统差分方程的表示式 根据图（a）可列写出求和器的入、出关系y n 二xn 0.5yn1（2）对方程所以，系统函数求系统函数 H z1）取z变换并利用位移性质，得Y z = X z i亠05zY z（3）画 H 由（2）式得零点:（z）的零、极点分布图并指出收敛域H z 二二亠X（z） z-0.51z = 0 极点：z = 2H z的零、极点分布如图（b）1可见z 2，Hz收敛。（4）系统的单位样值响应对H（ z）进行逆变换求单位样值响应（5）求该系统的频率响应H ejzz- 0.5ejej - 0.5cos j sincos - 0.5 j sin幅频特性L1H (z :(1.25 - cosw相频特性arctan 0.5sin1 0.5coso根据三角公式tan)tan。-tan卩1 + tan a tan P 可得.3 k x sin sin二 arctanarctan 一cosrco够-0.5其频率响应如图（c）所示|h 佃）2 厂 1 :一一一丿 _丿1o2兀时0.15n殴）o2兀* 0.15 兀（C）冲响应h(m的初值八jlm tz】例8-5一线性时不变离散时间系统 H( z)的零、极点分布如图 所示且已知其单位脉 h(0=1,试求该系统的单位脉冲响应h(n)。先求系统函数z21由初值定理可知H z =A(z 1z + 1)(1)jReLzlh 0= lim H z ；= lim A-(z_1 )(z + 1 )z21z ：解得A=1，代入式，得再求该系统的单位脉冲响应Hz1z 1h(n)c,-j(a)H zz2 1故得-1 1 1+z zz-1z1 z z -1 z 1Hz_加所以 h n 二- n u n (1)nu n