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二次函数中寻找等腰三角形问题1如图,在平面直角坐标系xoy中,矩形ABCD的边AB在x轴上,且AB=3,BC=,直线y=经过点C,交y轴于点G,且AGO=30。(1)点C、D的坐标(2)求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式;(3)将(2)中的抛物线沿直线y=平移,平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为点E。平移后是否存在这样的抛物线,使EFG为等腰三角形?若存在,请求出此时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由。推荐精选3已知两直线l1,l2分别经过点A(1,0),点B(3,0),并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时,恰好有l1l2,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K,如图所示(1)求点C的坐标,并求出抛物线的函数解析式;(2)抛物线的对称轴被直线l1、抛物线、直线l2和x轴依次截得三条线段,问这三条线段有何数量关系?请说明理由;(3)当直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,请找出使MCK为等腰三角形的点M,简述理由,并写出点M的坐标:4如图,已知二次函数的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点OP为二次函数图象上的一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为D(m,0),并与直线OA交于点C(1)求出二次函数的解析式;(2)当点P在直线OA的上方时,用含m的代数式表示线段PC的长,并求线段PC的最大值;(3)当m0时,探索是否存在点P,使得PCO为等腰三角形,如果存在,请直接写出所有P的坐标;如果不存在,请说明理由推荐精选5已知抛物线yax2bxc(a0)的图象经过点B(14,0)和C(0,8),对称轴为x4(1)求该抛物线的解析式;(2)点D在线段AB上且ADAC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由;(3)在(2)的结论下,直线x1上是否存在点M使MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标,若不存在,请说明理由6在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A(3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(1)求这个二次函数的关系解析式;(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;推荐精选7如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A,D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动(点P异于点O)(1)求此抛物线的解析式(2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R,求证:PF=PR;是否存在点P,使得PFR为等边三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为S,试判断RSF的形状8在平面直角坐标系xoy中, 一块含60角的三角板作如图摆放,斜边 AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A(1,0) (1)请直接写出点B、C的坐标:B( , )、C( , );并求经过A、B、C三点的抛物线解析式; (2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中EDF=90,DEF=60),把顶点E放在线段AB上(点E是不与A、B两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C 此时,EF所在直线与(1)中的抛物线交于第一象限的点M 设AE=x,当x为何值时,OCEOBC; 在的条件下探究:抛物线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形,若存在,请求点P的坐标;若不存在,请说明理由推荐精选9如图1,在RtAOB中,AOB=90,AO=,ABO=30动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒个单位的速度运动,设运动时间为t秒在直线OB 上取两点M、N作等边PMN(1)求当等边PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值(2)求等边PMN的边长(用t的代数式表示);(3)如果取OB的中点D,以OD为边在RtAOB 内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上设等边PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0t2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值(4)在(3)中,设PN与EC的交点为R,是否存在点R,使ODR是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由10如图, 已知抛物线与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1)(1)求抛物线的解析式;(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DEx轴于点D,连结DC,当DCE的面积最大时,求点D的坐标;(3)在直线BC上是否存在一点P,使ACP为以AC为腰的等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由 推荐精选参考答案1【解析】(1)根据题意可得点C的纵坐标为3,代入直线解析式可得出点C的横坐标,继而也可得出点D的坐标;(2)由题意可得点C和点D关于抛物线的对称轴对称,从而得出抛物线的对称轴为,再由抛物线的顶点在直线,可得出顶点坐标为(),设出顶点式,代入点C的坐标即可得出答案(3)分EF=EG、GF=EG、GF=EF三种情况分析。解:(1)C(4,),D(1,);(2)顶点(),解析式;(3)EF=EG GF=EG GF=EF 3解:由勾股定理,得(OC2+OB2)+(OC2+OA2)=BC2+AC2=AB2,又OB=3,OA=1,AB=4,点C的坐标是由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x1)(x+3),把C(0,)代入函数解析式得所以,抛物线的函数解析式为;(2)截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF推荐精选(3)当点M的坐标分别为时, MCK为等腰三角形(i)连接BK,交抛物线于点G,易知点G的坐标为(2,),又点C的坐标为(0,),则GCAB,可求得AB=BK=4,且ABK=60,即ABK为正三角形,CGK为正三角形当l2与抛物线交于点G,即l2AB时,符合题意,此时点M1的坐标为(2,),(ii)连接CD,由KD=,CK=CG=2,CKD=30,易知KDC为等腰三角形,当l2过抛物线顶点D时,符合题意,此时点M2坐标为(1,),(iii)当点M在抛物线对称轴右边时,只有点M与点A重合时,满足CM=CK,但点A、C、K在同一直线上,不能构成三角形,综上所述,当点M的坐标分别为时,MCK为等腰三角形4(1)设y=ax(x4),把A点坐标(3,3)代入得:a=1,函数的解析式为y=x2+4x, 4分(2)0m3,PC=PDCD=m2+3m,=+, 6分10,开口向下,有最大值,推荐精选当D(,0)时,PCmax=,8分(3)P的坐标是(3,1+2)或(3+,12)或(5,5)或(4,0)12分(3)简单解答过程如下:当0m3时,仅有OC=PC,解得,;当m3时,PC=CDPD=m23m,OC=,由勾股定理得:OP2=OD2+DP2=m2+m2(m4)2,当OC=PC时,解得:,;当OC=OP时,解得:m1=5,m2=3(舍去),P(5,5);当PC=OP时,m2(m3)2=m2+m2(m4)2,解得:m=4,P(4,0),存在P的坐标是(3,1+2)或(3+,12)或(5,5)或(4,0)5(1); (2)存在,理由如下:推荐精选综上所述:存在5个M点,即6【解析】解:(1)由抛物线过A(3,0),B(1,0),则,解得 。二次函数的关系解析式为。(2)设点P坐标为(m,n),则。连接PO,作PMx轴于M,PNy轴于N。PM =, ,AO=3。当推荐精选时,所以OC=2。1110,函数有最大值,当时,有最大值。此时。存在点,使ACP的面积最大。 (3)存在。点。7【解析】解:(1)抛物线的顶点为坐标原点,A、D关于抛物线的对称轴对称。E是AB的中点,O是矩形ABCD对角线的交点。又B(2,1),A(2,1)、D(2,1)。抛物线的顶点为(0,0),可设其解析式为:y=ax2,则有:4a=1,a=。抛物线的解析式为:y=x2。(2)证明:由抛物线的解析式知:P(a,a2),而R(a,1)、F(0,1),则:PF=PR=,PF=PR。RF=,若PFR为等边三角形,则由得RF=PF=PR,得:=,即:a48a248=0,得:a2=4(舍去),a2=12。a=2,a2=3。推荐精选存在符合条件的P点,坐标为(2,3)、(2,3)。同可证得:QF=QS。在等腰SQF中,1=(180SQF)。同理,在等腰RPF中,2=(180RPF)。QSBC、PRBC,QSPR,SQP+RPF=180。1+2=(360SQFRPF)=90SFR=18012=90,即SFR是直角三角形。(1)根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点,因此D、B关于原点对称,A、B关于x轴对称,得到A、D的坐标后,利用待定系数法可确定抛物线的解析式。(2)首先根据抛物线的解析式,用一个未知数表示出点P的坐标,然后表示出PF、RF的长,两者进行比较即可得证。首先表示RF的长,若PFR为等边三角形,则满足PF=PR=FR,列式求解即可。根据的思路,不难看出QF=QS,若连接SF、RF,那么QSF、PRF都是等腰三角形,先用SQF、RPF表示出DFS、RFP的和,用180减去这个和值即可判断出RSF的形状。8【解析】解:(1)B(3,0),C(0,)。A(1,0)B(3,0)可设过A、B、C三点的抛物线为 。又C(0,)在抛物线上,解得。经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。(2)当OCEOBC时,则。推荐精选OC=, OE=AEAO=x1, OB=3,。x=2。当x=2时,OCEOBC。存在点P。由可知x=2,OE=1。E(1,0)。 此时,CAE为等边三角形。AEC=A=60。又CEM=60, MEB=60。点C与点
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