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第2课时勾股定理的应用1熟练运用勾股定理解决实际问题;(重点)2掌握勾股定理的简单应用,探究最短距离问题(难点)一、情境导入如图,在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A处爬向B处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近?二、合作探究探究点一:勾股定理的实际应用【类型一】 勾股定理在实际问题中的应用 如图,在离水面高度为5米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13米,此人以0.5米每秒的速度收绳问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的,结果保留根号)?解析:开始时,AC5米,BC13米,即可求得AB的值,6秒后根据BC,AC长度即可求得AB的值,然后解答即可解:在RtABC中,BC13米,AC5米,则AB12米.6秒后,BC130.5610米,则AB5(米),则船向岸边移动的距离为(125)米方法总结:本题直接考查勾股定理在实际生活中的运用,可建立合理的数学模型,将已知条件转化到同一直角三角形中求解【类型二】 利用勾股定理解决方位角问题 如图所示,在一次夏令营活动中,小明坐车从营地A点出发,沿北偏东60方向走了100km到达B点,然后再沿北偏西30方向走了100km到达目的地C点,求出A、C两点之间的距离解析:根据所走的方向可判断出ABC是直角三角形,根据勾股定理可求出解解:ADBE,ABEDAB60.CBF30,ABC180ABECBF180603090.在RtABC中,AB100km,BC100km,AC200(km),A、C两点之间的距离为200km.方法总结:先确定ABC是直角三角形,再根据各边长,用勾股定理可求出AC的长【类型三】 利用勾股定理解决立体图形最短距离问题 如图,长方体的长BE15cm,宽AB10cm,高AD20cm,点M在CH上,且CM5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?解:分两种情况比较最短距离:如图所示,蚂蚁爬行最短路线为AM,AM5(cm),如图所示,蚂蚁爬行最短路线为AM,AM25(cm)525,第二种短些,此时最短距离为25cm.答:需要爬行的最短距离是25cm.方法总结:因为长方体的展开图不止一种情况,故对长方体相邻的两个面展开时,考虑要全面,不要有所遗漏不过要留意展开时的多种情况,虽然看似很多,但由于长方体的对面是相同的,所以归纳起来只需讨论三种情况:前面和右面展开,前面和上面展开,左面和上面展开,从而比较取其最小值即可【类型四】 运用勾股定理解决折叠中的有关计算 如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B处,点A的对应点为A,且BC3,则AM的长是()A1.5B2C2.25D2.5解析:连接BM,MB.设AMx,在RtABM中,AB2AM2BM2.在RtMDB中,MD2DB2.MBMB,AB2AM2BM2BM2MD2DB2,即92x2(9x)2(93)2,解得x2,即AM2.故选B.方法总结:解题的关键是设出适当的线段的长度为x,然后用含有x的式子表示其他线段,然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答【类型五】 勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用 如图,在树上距地面10m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上C处有一筐水果,一只猴子从D处向上爬到树顶A处,然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D处先滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经过的路程都是15m,求树高AB.解析:在RtABC中,B90,则满足AB2BC2AC2.设BCam,ACbm,ADxm,根据两只猴子经过的路程一样可列方程组,从而求出x的值,即可计算树高解:在RtABC中,B90,设BCam,ACbm,ADxm.两猴子所经过的路程都是15m,则10axb15m.a5,b15x.又在RtABC中,由勾股定理得(10x)2a2b2,(10x)252(15x)2,解得x2,即AD2米ABADDB21012(米)答:树高AB为12米方法总结:勾股定理表达式中有三个量,如果条件中只有一个己知量,通常需要巧设未知数,灵活地寻找题中的等量关系,然后利用勾股定理列方程求解探究点二:勾股定理与数轴 如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是()A.1 B1C.1 D.解析:先根据勾股定理求出三角形的斜边长,再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标图中的直角三角形的两直角边为1和2,斜边长为,1到A的距离是.那么点A所表示的数为1.故选C.方法总结:本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式,解答此题时要注意,确定点A的位置,再根据A的位置来确定a的值三、板书设计1勾股定理的应用方位角问题;路程最短问题;折叠问题;数形结合思想2勾股定理与数轴本节课充分锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力,让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣,突现教学过程中的师生互动,使学生真正成为主动学习者最新精品语文资料
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