广东省广州市华南师大附中2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得，所以，故选A.考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.2.下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为满足函数只有，但是单调递增的函数只有，所以应选答案C。3.函数的最小正周期是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式化简可得，再利用公式求最小正周期【详解】，故最小正周期为，选B【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，是基础题4.设为等差数列的前项和若，则的公差为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式和题设条件，求得，进而求解数列的公差，得到答案。【详解】依题意，可得，解得，又，所以，所以公差，故选A。【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。5.设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】由题意得，命题甲的解集是实数集，则，所以命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C.考点：必要不充分条件的判定.6.已知复数满足，为虚数单位，则等于（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以应选答案A。7.已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】两个非零向量，满足，两边平方，展开即可得到结论。【详解】两个非零向量，满足 ，展开得到故选：B【点睛】本题考查向量的模和数量积的运算，属于基础题。8.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的渐进线方程，可得到值，再由的关系和离心率公式，即可得到答案。【详解】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，所以该条渐近线方程为；所以，解得；所以 ，所以双曲线的离心率为故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，考查学生基本的运算能力，属于基础题，9.圆上到直线的距离为的点有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】试题分析：圆方程变形得：，即圆心，半径，圆心到直线的距离，所以，则到圆上到直线的距离为的点得到个数为个，故选B考点：直线与圆的位置关系【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中圆的标准方程及圆心坐标、半径，点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离是解答的关键，试题比较基础，属于基础题10.如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于和成绩不小于且小于的人数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个，故，考点：程序框图、茎叶图【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判断框计算输出结果，属于基础知识的考查由程序运行过程看，两个判断框执行的判断为求个成绩中成绩不小于和成绩不小于且小于的个数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个11.在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，对事件“”，如图（1）阴影部分，对事件“”，如图（2）阴影部分，对为事件“”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得（1） （2） （3）考点：几何概型12.已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数m（）A. 有最小值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最大值【答案】D【解析】试题分析：，所以，又，所以，当时，因此在上递增，所以，从而在上是增函数，的最小值为，最大值为，因此由在区间上,不等式恒成立得，解得或，所以最大值为故选D考点：导数的几何意义，导数与单调性、最值【名师点睛】本题是一道综合题，解题要求对所涉及的知识都能正确理解运用首先考查导数的几何意义，通过导数求函数图象的切线方程知识点求出参数值，不等式恒成立，转化为求函数的最值，从而解相应不等式得出结论，这里求的最值时，要确定单调性，也即要确定导数的正负，对导数的正负不易确定时，可对它再一次求导，由的正负，确定的单调性，从而确定正负，是我们常用的方法二、填空题（本大题共5小题，共22.0分）13.若关于的二项式的展开式中一次项的系数是，则_【答案】【解析】【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幂指数为1，即可得到实数的值。【详解】展开式通项公式为，由，得，所以一次项的系数为，得，故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，熟练掌握二项式展开式的通项公式是关键，属于基础题。14._【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简，再结合两角和的正弦公式化简，即可得到答案。【详解】故答案为：【点睛】本题考查诱导公式以及两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值的知识，属于基础题。15.如图，用、三类不同的元件连接成一个系统当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、正常工作的概率依次为、，则系统正常工作的概率为_【答案】【解析】【分析】首先记、正常工作分别为事件、；，易得当正常工作与、至少有一个正常工作为互相独立事件，而“、至少有一个正常工作”与“、都不正确工作”为对立事件，易得、至少有一个正常工作概率，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案。【详解】解：根据题意，记、正常工作分别为事件、；则；、至少有一个正常工作的概率为；则系统正常工作的概率为；故答案为：【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之间的关系，理解掌握乘法原理是解决本题的知识保证，本题属于中档题。16.已知从点出发的三条射线、两两成角，且分别与球相切于、三点，若球的体积为，则、两点间的距离是_【答案】【解析】【分析】连接交平面于，由题意可得，再由相似三角形的相似比化简即可得到，根据球的体积公式可得半径，由此得到、两点间的距离。【详解】连接交平面于，由题意可得：平面，和为正三角形， ，又球的体积为，半径，则故答案为：【点睛】本题考查空间中两点间的距离，解决此类问题的关键是掌握几何体的结构特征，考查学生的计算能力，属于中档题。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图所示，在平面四边形中，与为其对角线，已知，且（1）若平分，且，求的长；（2）若，求的长【答案】（1）（2）5【解析】分析】（1）由对角线平分，求得，进而得到，在中，利用余弦定理，即可求得的长.（2）根据三角恒等变换的公式，求得，再在中，由正弦定理，即可求解。【详解】（1）若对角线平分，即，在中，由余弦定理可得：，解得，或（舍去），的长为.（2），又，在中，由正弦定理，可得，即的长为5.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.18.已知数列中，设（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项的和【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：由条件得即可证明数列是等比数列(2)由(1)得代入求得 利用裂项求和求出数列的前项的和解析：（1）证明：因为，所以 ，又因为，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）知，因为，所以 ，所以.19.为了解学生喜欢校内、校外开展活动的情况，某中学一课外活动小组在学校高一年级进行了问卷调查，问卷共道题，每题分，总分分，该课外活动小组随机抽取了名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按，分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于分的称为类学生，低于分的称为类学生（1）根据已知条件完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与是否为类学生有关系？类类合计男女合计（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取人，共抽取次，记被抽取的人中类学生的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，其的分布列、期望和方差参考公式：，其中参考临界值：【答案】(1)列联表见解析; 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与类学生有关.(2)分布列见解析;.【解析】分析：（1）由频率分布直方图可得分数在和之间的学生人数，得出的列联表，利用公式，求解的观测值，即可作出判断（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该学生为“类”的概率为，进而得到，利用二项分布求得分布列，计算其数学期望详解：（1）由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为，在之间的学生人数为，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为：类类合计男8030110女405090合计12080200又的观测值为 ，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与类学生有关.（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该学生为“类”的概率为.依题意知，所以 ，所以的分布列为0123所以期望，方差.点睛：本题主要考查独立性检验的应用和二项分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望，其中任何审题，准去判断，得到的二项分布，利用二项分布的概率公式，求得概率，得到分布列和求得数学期望是