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数学精品教学资料解直角三角形一、选择题1. (2014浙江杭州,第3题,3分)在直角三角形ABC中,已知C=90,A=40,BC=3,则AC=()A3sin40B3sin50C3tan40D3tan50考点:解直角三角形分析:利用直角三角形两锐角互余求得B的度数,然后根据正切函数的定义即可求解解答:解:B=90A=9040=50,又tanB=,AC=BCtanB=3tan50故选D点评:本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系2. (2014浙江杭州,第10题,3分)已知ADBC,ABAD,点E,点F分别在射线AD,射线BC上若点E与点B关于AC对称,点E与点F关于BD对称,AC与BD相交于点G,则()A1+tanADB=B2BC=5CFCAEB+22=DEFD4cosAGB=考点:轴对称的性质;解直角三角形分析:连接CE,设EF与BD相交于点O,根据轴对称性可得AB=AE,并设为1,利用勾股定理列式求出BE,再根据翻折的性质可得DE=BF=BE,再求出BC=1,然后对各选项分析判断利用排除法求解解答:解:如图,连接CE,设EF与BD相交于点O,由轴对称性得,AB=AE,设为1,则BE=,点E与点F关于BD对称,DE=BF=BE=,AD=1+,ADBC,ABAD,AB=AE,四边形ABCE是正方形,BC=AB=1,1+tanADB=1+=1+1=,故A选项结论正确;CF=BFBC=1,2BC=21=2,5CF=5(1),2BC5CF,故B选项结论错误;AEB+22=45+22=67,在RtABD中,BD=,sinDEF=,DEF67,故C选项结论错误;由勾股定理得,OE2=()2()2=,OE=,EBG+AGB=90,EGB+BEF=90,AGB=BEF,又BEF=DEF,4cosAGB=,故D选项结论错误故选A点评:本题考查了轴对称的性质,解直角三角形,等腰直角三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,熟记性质是解题的关键,设出边长为1可使求解过程更容易理解3. (2014江苏苏州,第9题3分)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为()A4kmB2kmC2kmD(+1)km考点:解直角三角形的应用-方向角问题分析:过点A作ADOB于D先解RtAOD,得出AD=OA=2,再由ABD是等腰直角三角形,得出BD=AD=2,则AB=AD=2解答:解:如图,过点A作ADOB于D在RtAOD中,ADO=90,AOD=30,OA=4,AD=OA=2在RtABD中,ADB=90,B=CABAOB=7530=45,BD=AD=2,AB=AD=2即该船航行的距离(即AB的长)为2km故选C点评:本题考查了解直角三角形的应用方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键4. (2014山东临沂,第13题3分)如图,在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15方向的A处,若渔船沿北偏西75方向以40海里/小时的速度航行,航行半小时后到达C处,在C处观测到B在C的北偏东60方向上,则B、C之间的距离为()A20海里B10海里C20海里D30海里考点:解直角三角形的应用-方向角问题分析:如图,根据题意易求ABC是等腰直角三角形,通过解该直角三角形来求BC的长度解答:解:如图,ABE=15,DAB=ABE,DAB=15,CAB=CAD+DAB=90又FCB=60,CBE=FCB,CBA+ABE=CBE,CBA=45在直角ABC中,sinABC=,BC=20海里故选:C点评:本题考查了解直角三角形的应用方向角问题解题的难点是推知ABC是等腰直角三角形5(2014四川凉山州,第5题,4分)如图,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:,堤高BC=10m,则坡面AB的长度是( )A15mB20mC20mD10m 考点:解直角三角形的应用坡度坡角问题分析:在RtABC中,已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值,通过解直角三角形即可求出斜面AB的长解答:解:RtABC中,BC=10m,tanA=1:;AC=BCtanA=10m,AB=20m故选C点评:此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力,熟练运用勾股定理是解答本题的关键 2.3.4.5.6.7.8.二、填空题1. (2014上海,第12题4分)已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1:2.4,如果它把物体送到离地面10米高的地方,那么物体所经过的路程为26米考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题:应用题分析:首先根据题意画出图形,根据坡度的定义,由勾股定理即可求得答案解答:解:如图,由题意得:斜坡AB的坡度:i=1:2.4,AE=10米,AEBD,i=,BE=24米,在RtABE中,AB=26(米)故答案为:26点评:此题考查了坡度坡角问题此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用,注意理解坡度的定义2. (2014山东潍坊,第17题3分)如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的CD和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退2米到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4米到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上,则建筑物的高是 米考点:解直角三角形的应用仰角俯角问题分析:根据ABCDFE,可得ABGCDG,ABHEFH,可得CD:AB=DG:BG, EF:AB=FH:BH,即可求得AB的值,即可解题解答:ABGCDG,CD:AB=DG:BG CD=DG=2, AB=BGABHEFH,EF:AB=FH:BH,EF=2,FH=4 BH=2AB BH=2BG=2GHGH=DHDG=DF=FHDG=522+4=54,AB=BG=GH=54.故答案为:54点评:本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质,考查了平行线定理,本题中列出关于GH、BH的关系式并求解是解题的关键3(2014湖南怀化,第13题,3分)如图,小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米,此时,他离地面高度为h=2米,则这个土坡的坡角A=30考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析:直接利用正弦函数的定义求解即可解答:解:由题意得:AB=4米,BC=2米,在RtABC中,sinA=,故A=30,故答案为:30点评:本题考查了解直角三角形的应用,牢记正弦函数的定义是解答本题的关键落千丈4(2014四川内江,第23题,6分)如图,AOB=30,OP平分AOB,PCOB于点C若OC=2,则PC的长是考点:含30度角的直角三角形;勾股定理;矩形的判定与性质专题:计算题分析:延长CP,与OA交于点Q,过P作PDOA,利用角平分线定理得到PD=PC,在直角三角形OQC中,利用锐角三角函数定义求出QC的长,在直角三角形QDP中,利用锐角三角函数定义表示出PQ,由QP+PC=QC,求出PC的长即可解答:解:延长CP,与OA交于点Q,过P作PDOA,OP平分AOB,PDOA,PCOB,PD=PC,在RtQOC中,AOB=30,OC=2,QC=OCtan30=2=,APD=30,在RtQPD中,cos30=,即PQ=DP=PC,QC=PQ+PC,即PC+PC=,解得:PC=故答案为:点评:此题考查了含30度直角三角形的性质,锐角三角函数定义,熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键5.6.7.8.三、解答题1. (2014四川巴中,第27题9分)如图,一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝顶BC宽6米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1:2.5,斜坡CD的坡角为30,求坝底AD的长度(精确到0.1米,参考数据:1.414,1.732提示:坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)考点:解直角三角形的应用分析:过梯形上底的两个顶点向下底引垂线,得到两个直角三角形和一个矩形,利用相应的性质求解即可解答:作BEAD,CFAD,垂足分别为点E,F,则四边形BCFE是矩形,由题意得,BC=EF=6米,BE=CF=20米,斜坡AB的坡度i为1:2.5,在RtABE中,BE=20米,=,AE=50米在RtCFD中,D=30,DF=CFcotD=20米,AD=AE+EF+FD=50+6+2090.6(米)故坝底AD的长度约为90.6米点评:本题考查了坡度及坡角的知识,解答本题的关键是构造直角三角形和矩形,注意理解坡度与坡角的定义2. (2014山东枣庄,第21题8分)如图,一扇窗户垂直打开,即OMOP,AC是长度不变的滑动支架,其中一端固定在窗户的点A处,另一端在OP上滑动,将窗户OM按图示方向想内旋转35到达ON位置,此时,点A、C的对应位置分别是点B、D测量出ODB为25,点D到点O的距离为30cm(1)求B点到OP的距离;(2)求滑动支架的长(结果精确到1cm参考数据:sin250.42,cos250.91,tan250.47,sin550.82,cos550.57,tan551.43) 考点:解直角三角形的应用分析:(1)根据三角函数分别表示出OE和DE,再根据点D到点O的距离为30cm可列方程求解;(2)在RtBDE中,根据三角函数即可得到滑动支架的长解答:解:(1)在RtBOE中,OE=,在RtBDE中,DE=,则+=30,解得BE10.6cm故B点到OP的距离大约为10.6cm;(2)在RtBDE中,BD=25.3cm故滑动支架的长25.3cm点评:此题考查了解直角三角形的应用,主要是三角函数的基本概念及运算,关键是运用数学知识解决实际问题3. (2014山东潍坊,第21题10分)如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B
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