结合人员分配的生产规划摘 要：本文运用整数规划的知识研究了有关结合人员分配的最优生产规划的相关问题。问题1是一个简单的“流水线作业”的问题，根据流水线作业的特征，建立了一个简单易懂、方便实用的整数规划模型。运用Lingo软件编程对问题一的模型求解，最终得到问题一的最大利润及最优分配方案。问题2在第一个问题基础之上考虑了生产线之间的人员转移,在第一个问题的模型基础之上,加入了0-1规划部分,利用变量代换及Lingo软件,对建立的模型进行了求解,得到了流水线作业同时允许人员转移情况下的生产安排方案及最大利润。问题3是一个典型的非流水作业问题，根据流水线作业与非流水线作业的区别，只需将前两问中的决策变量改为非负整数，在此基础之上建立新的整数规划模型，运用LINGO软件编程分别求得两问的最优解及最优分配方案与转移策略。对比各条件下的生产安排策略及获利情况,可见,非流水线作业及允许人员转移情况下获利会更大,这得益于人员及设备得到了最大化的利用。关键词：流水线作业 整数规划 0-1规划 LINGO软件一、问题提出某公司要对四种产品（P1，P2，P3，P4）在五条生产线（L1到L5）上的生产进行规划。产品P1和P4的单位纯利润为7元，产品P2的单位纯利润为8元，产品P3的单位纯利润为9元。在规划期内这五条生产线各自可以进行生产的时间长度各不相同。L1到L5的最大可用生产时间分别为4500小时，5000小时，4500小时，1500小时和2500小时。表1列出了在每条生产线上生产每种产品一个单位所需要的时间。1、假设生产是流水线作业，即一种产品需要先后经过5条生产线才能生产出来,产品P1到P4各应生产多少才能够使总利润最大？2、如果在生产过程中允许在生产线之间进行人员转移（从而使工时也相应转移），如表2所示，则最大利润是多少？应转移多少个工时，如何转移？3、如果生产不是流水线作业，即一种产品只需要在一条生产线上就能生产出来,模型应如何修改？表1 单位生产时间 生产线产品L1L2L3L4L5P11.30.92.00.30.9P21.81.71.40.61.1P31.31.21.31.01.4P40.91.11.00.91.0表2 可以进行的人员转移目的地最大可转移总工时数来源地L1L2L3L4L5L1-yesyesyesno400L2no-yesnoyes800L3yesyes-yesno500L4nonono-yes200L5yesyes yesno-300二、问题分析本题要求对四种产品（P1、P2、P3、P4）在五条生产线（L1到L5）上的生产进行规划，在给出单位纯利润与单位生产时间的前提下，欲求得最大总利润，据此问题中要求分别在流水作业与非流水作业的情况下来研究本问题。问题一：本问题是一种简单的流水作业问题，前提是人员保持固定，不能进行转移，考虑到流水作业的特征，需保证每条生产线上都能分配到产品，据此建立了典型的整数规划模型进行求解。问题二：本问题是在第一问的基础上又保证人员能进行转移，考虑到任意两条生产线之间的人员转移不具有双向性，故引入0-1变量,据此可以建立0-1型整数规划模型进行求解。问题三：本问题要求在非流水作业的前提下来求解，此时不必保证每条生产线上都能分配到产品，只需在原模型的基础上把决策变量限定为非负，用LINGO求解即可。三、 符号说明符号说 明第j种产品应在第i条生产线上的分配生产量第i条生产线产出一个单位的第j种产品所需时间第j种产品的单位纯利润第i条生产线上最大可用生产时间第p条生产线上最大可用生产时间 若从第p条生产线能向第q条生产线移动工时，取值为1；其他为0第p条生产线的最大可能转移工时数从第p条生产线向第q条生产线转移工时数转移之后的第p条生产线的最大可用生产时间转移之后的第i条生产线的最大可用生产时间 四、 模型假设针对上述问题，做出如下假设：（1）在生产期间该公司无其他事由停产，都是正常生产；（2）总利润只与产品的单位纯利润与生产数量有关，与其他无关；（3）在生产过程中每条生产线的运作是独立的，互不影响的；（4）每条生产线生产出的每种产品都能满足该产品合格与否的标准；（5）每条生产线上分得的生产量都是整数；（6）假设在生产期间公司无人员流失现象。五、 模型一建立与求解5.1 模型一建立如题中所述，假设生产是流水线生产，则从L1到L5每条生产线都应分得产品进行生产，设代表总利润，在符号说明的基础上可得目标函数如下： （5-1） 需保证每条生产线的最大可用生产时间，由此得约束条件： （5-2） 综上所述可得整数规划模型如下： （5-3） 再采用LINGO编程求解即可。5. 2 模型一求解如题有每种产品的单位纯利润为 ；在每条生产线上生产每种产品一个单位所需要的时间为； L1到L5的最大可用生产时间为编程求解得最大利润为：并得到最优分配方案见下表：表5-1 模型一最优分配方案 生产线 产品L1L2L3L4L5P115551149912217P211112P311211P449951449411总利润155873六、 模型二建立与求解6.1 模型二建立如题中所述假设在生产过程中允许在生产线之间进行人员转移（从而使工时也相应转移）， 为了方便计算，现对表中数据进行预处理，引入0-1变量如下： 处理表格如下：表6-1 模型二人员转移L1L2L3L4L5最大可转移工时数L101110400L200101800L311010500L400001200L511100300在问题一的基础上，还应保证决策变量为非负整数，设从第p条生产线向第q条生产线转移工时数为，为了保证能与每条生产线的最大可转移总工时数对应，可得约束条件如下： （6-1）而对于每条生产线来说，有可能既由转出又有转入，一旦定义了0-1变量，就可得出每条生产线经转移之后的最大可转移总工时数，设第p条生产线的转入和转出分别为和，有上述分析知： （6-2） （6-3）由此可得经转移之后第p条生产线的最大可用生产时间为： （6-4）为了与经转移之后的最大可用生产时间相对应，有约束条件如下： （6-5）总结上述可建立问题二为0-1型整数规划模型如下 （6-6）其中还需保证都是整数。6.2 模型二求解在问题二数据的基础上，采用LINGO编程求得此时利润的最大值为进行的工时转移方式和转移量见下表：表6-2 模型二最大利润时人员转移L1L2L3L4L5L10.10399.90L2000800L30.10499.90L40000L51.1000每条生产线上的产品分配量如下表所示表6-3 模型二最大利润时产品分配量 生产线产品L1L2L3L4L5P114661179913106P211111P312211P445521399411总利润170266七、 模型三（不允许人员转移）建立与求解7.1 模型三建立由流水线作业与非流水线作业的区别知，只需在前两问的基础上对决策变量稍加限制即可，由于采用非流水线作业，任何一条生产线上分配的生产量都（7-1）有可能为零，故可设为非负数即可，故得如下模型：7.2 模型三求解同样采用LINGO编程求解的最大利润是每种产品分给每条生产线的生产量见下表：表7-1 模型三最大利润时产品分配量 生产线 产品L1L2L3L4L5P105554050002221P200001P301000P450000450000总利润155942八、 模型四（允许人员转移）建立与求解8.1 模型四的建立 由模型三分析知，可设为非负数即可，故得如下模型：（8-1） 其中必须为整数。8.2模型四求解： 采用LINGO编程求解的最大利润是具体的分配措施见下表所示：表8-1 模型四最大利润时产品分配量 生产线产品L1L2L3L4L5P104667080003110P200000P300100P445560369900总利润170333转移方略见下表所示：表8-2 模型四最大利润时人员转移L1L2L3L4L5L1-004000L20 -0.30799.7L300-5000L4000-0L50.40.300-九、 模型分析从上述结果可以看到，无论有无人员转移，非流水线作业比流水线作业获得的最大利润分别多69元，67元。无论采用哪种生产方式，人员转移情况下获得的最大利润比无转移情况下获得