第3讲圆锥曲线的综合问题考情研析1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.核心知识回顾1.最值问题求解最值问题的基本思路是选择变量，建立求解目标的函数解析式，然后利用函数知识、基本不等式等知识求解其最值2范围问题求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”不等式的来源可以是0或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等3定点问题在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题4定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题5存在性问题的解题步骤(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在热点考向探究考向1 最值与范围问题角度1最值问题例1已知抛物线C的方程为y22px(p0)，点R(1，2)在抛物线C上(1)求抛物线C的方程；(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y2x2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程解(1)点R(1,2)在抛物线C：y22px(p0)上，42p，解得p2，抛物线C的方程为y24x.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为xm(y1)1，m0，由消去x并整理得y24my4(m1)0，y1y24m，y1y24(m1)，设直线AR的方程为yk1(x1)2，由解得点M的横坐标xM，又k1，xM，同理点N的横坐标xN，|y2y1|4，|MN|xMxN|28 2 ，令m1t，t0，则mt1，|MN|2 ，当t2，即m1时，|MN|取得最小值，此时直线AB的方程为xy20. 解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法几何法是根据已知的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(利用普通方法、基本不等式法或导数法等)解决的 (2019湘赣十四校高三联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左焦点为F1，点A是椭圆C上位于x轴上方的一个动点，当直线AF1的斜率为1时，|AF1|.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AF1与椭圆C的另外一个交点为B，点A关于x轴的对称点为A，求F1AB面积的最大值解(1)解法一：e，a22c2，又a2b2c2，bc.当直线AF1的斜率为1时，直线AF1通过椭圆上的顶点，|AF1|a.又a22c2，bc，b1，椭圆C的方程为y21.解法二：设椭圆的右焦点为F2，在AF1F2中，|AF1|，|AF2|2a，|F1F2|2c，(2a)22(2c)222ccos45，即a2ac2c.又e，ac.联立，得a，c1，又a2b2c2，b1.椭圆C的方程为y21.解法三：e，a22c2，又a2b2c2，abc.椭圆C的方程可化为1，即x22y22c2.又直线AF1的方程为yxc.联立，得x22(xc)22c2，即3x24cx0，x0或xc.直线AF1的斜率为1且A在x轴上方，xA0，A的坐标为(0，b)|AF1|a，a，又abc，bc1.椭圆C的方程为y21.(2)如图，A在x轴上方，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为xmy1.F1，A，B三点能构成三角形，直线AB不垂直于x轴，m0，设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x2，y2)，则A的坐标为(x1，y1)联立得(my1)22y22，即(2m2)y22my10，y1y2，y1y2.解法一：SF1ABSBAASF1AA|AA|x2xF1|y1|x21|y1|my2|my1y2|，当且仅当|m|即|m|时取等号F1AB面积的最大值为.解法二：直线AB的方程为yy1(xx1)，令y0，则xx1112，直线AB过定点(2,0)，设定点为T，则SF1AB|SF1TBSF1TA|y2y1|，当且仅当|m|即|m|时取等号F1AB面积的最大值为.角度2范围问题例2(2019广东高三联考)已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，2)，(2,0)，(4，4)，.(1)求C1，C2的标准方程；(2)过点M(0,2)的直线l与椭圆C1交于不同的两点A，B，且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围解(1)由题意，抛物线的顶点为原点，所以点(2,0)一定在椭圆上，且a2，则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于2，所以也在椭圆上，1，b21，故椭圆C1的标准方程为y21，所以点(3，2)，(4，4)在抛物线上，且抛物线开口向右，其抛物线C2的方程为y22px,126p，p2，所以抛物线C2的方程为y24x.(2)当直线l斜率不存在时，易知A，O，B三点共线，不合符题意当l斜率存在时，设l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x24(kx2)240，即(4k21)x216kx120，令(16k)248(4k21)0，即256k2192k2480，得64k248，即k，x1x2，x1x2，y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，AOB为锐角，x1x2y1y20，即4k216，得2kb0)的长轴长为2，P为椭圆C上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积恒为.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围解(1)由已知2a2，a，设点P(x0，y0)，M，直线PA2与OM的斜率之积恒为，.y1，b1.故椭圆C的方程为y21.(2)设直线l：yk(x1)，联立直线与椭圆方程得(2k21)x24k2x2k220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得可得y1y2k(x1x22)，故AB中点Q，QN直线方程：yx，N，由已知条件得，0，02k21，|AB| ，|EF|，故Q点的轨迹T为以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，则a2，c1，所以b，所以点Q的轨迹T的方程为1.(2)证明：分别设直线AB和CD的中点为M，N，当直线AB斜率不存在或为0时，分析可知直线MN与x轴重合，当直线AB的斜率为1时，此时M，N，直线MN的方程为x，联立解得直线MN经过定点.下面证明一般性：当直线AB的斜率存在且不为0,1时，设直线AB的方程为yk(x1)，则直线CD的方程为y(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，所以y1y2，即M，同理，N，于是直线MN的斜率为kMN，故直线MN的方程为y，显然x时，y0，故直线经过定点. 过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 (2019白银市靖远县高三联考)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，O为坐标原点，点O到直线AF2的距离为，AF1F2为等腰直角三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l与椭圆C交于M，N两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标解(1)由题意可知，直线AF2的方程为1，即bxcybc0，则.因为AF1F2为等腰直角三角形，所以bc，又a2b2c2，解得a，b1，c1，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)证明：由(1)知A(0，1)，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxt(t1)，代入y21，得(12k2)x24ktx2t220，所以16k2t24(12k2)(2t22)0，即t22k21，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，因为直线AM与直线AN的斜率之和为2，所以kAMkAN2k2k2，整理得t1k，所以直线l的方程为ykxtkx1kk(x1)1，显然直线yk(x1)1经过定点(1,1)当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为xm，因为直线AM与直线的斜率之和为2，设M(m，n)，则N(m，n)，所以kAMkAN2，解得m1，此时直线l的方程为x1.显然直线x1也经过该定点(1,