章节第七章 微分方程1 微分方程的基本概念 2可分离变量微分方程 课时2教学目的掌握微分方程的基本概念，可分离变量微分方程的解法教学重点及突出方法可分离变量微分方程的解法教学难点及突破方法可分离变量微分方程的解法相关参考资料高等数学（第三册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社教学过程教学思路、主要环节、主要内容7.1 微分方程的基本概念在许多科技领域里，常会遇到这样的问题： 某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子： 例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程 解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程： 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 在一个微分方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶。当然阶数越高的微分方程越麻烦。 从微分方程求出未知函数是什么就叫做解微分方程。满足微分方程的函数（它要在某区间上连续）称为微分方程的解，微分方程的一般形式的解称为微分方程的一般解. 满足微分方程的一个有特殊要求的解称为微分方程的一特解，这种特解通常是满足一定的附加条件的解。 通常，微分方程的一般解里，含有一些任意常数，其个数与微分方程的阶数相同，因此用来确定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同.7.2 可分离变量的微分方程一般地，如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx ()的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那末原方程就称为可分离变量的微分方程。那么我们将怎样解可分离变量的微分方程？通常我们采用两边积分的方法求解。假定方程（）中的函数g(y)和f(x)是连续的。设 是方程（）的解，将它代入（）中得到恒等式将上式两端积分，并由引进变量y ，得设G(y )及F(x)依次为g(y) 及f(x)的原函数，于是有G(y)=F(x)+C因此，方程（）的解满足上式。章节第七章微分方程3 齐次方程课时2教学目的掌握齐次微分方程的计算教学重点及突出方法齐次微分方程的计算教学难点及突破方法齐次微分方程的计算相关参考资料高等数学（第三册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，教学过程教学思路、主要环节、主要内容齐次方程的定义：如果一阶微分方程 中的函数可写成的函数，即，则称这方程为齐次方程。齐次方程的解法：在齐次方程 （1）中，引进新的未知函数（2）就可化为可分离变量的方程。因为由（2）有代入方程（1），便得方程即 分离变量，得 两端积分，得 求出积分后，再用 代替u，便得所给齐次方程的通解。例解方程解 原方程可写成因此是齐次方程。令，则， 于是原方程为 ；即 。分离变量，得两端积分，得或写为 以代入上式中的u，便得所给方程的通解为。章节第七章微分方程4 一阶线性微分方程课时2教学目的掌握一阶线性微分方程的计算教学重点及突出方法一阶线性微分方程的计算教学难点及突破方法待定系数法相关参考资料高等数学（第三册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社教学过程教学思路、主要环节、主要内容一阶线性微分方程定义：方程 （1）叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y及其导数是一次方程。如果Q(x)0 则方程（1）称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零，则方程（1）称为非齐次的。 非齐次线性方程的解法在（1）中，如Q(x)0，我们先把Q(x)换成零而写出 （2）方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程。方程（2）是可分离变量的，分离变量后得，两端积分，得，或 ，这是对应的齐次线性方程（2）的通解。现在我们用所谓常数变易法来求非齐次线性方程（1）的通解。把（2）的通解中的C换成x的未知函数u(x),即作变换 ， （3）于是 .（4）将（3）和（4）代入方程（1）得 ,将 两端积分，得 把上式代入（3），便得非齐次线性方程（1）的通解 . （5） ，将（5）式改写成两项之和 第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）的一个特解，由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。伯努利方程：方程 dy/dx+P(x)y=Q(x)yn(10)叫做伯努利（Bernoulli）方程.当n=0或n=1时，这是线性微分方程。当n0或n1时，可把它化为线性的。只要以除方程（10）的两端,得y-ndy/dx+P(x)y1-n=Q(x)。容易看出，上式左端第一项与d(y1-n)/dx只差一个常数因1-n，因此我们引入新的未知函数z=y1-n，那末dz/dx=(1-n)y-ndy/dx。用(1-n)乘方程（11）的两端，再通过上述代换得线性方程。求出这方程的通解后，以 代z，便得到伯努利方程的通解。章节第七章微分方程6可降阶的高阶微分方程 课时1教学目的掌握几种特殊的可降阶的高阶微分方程的计算教学重点及突出方法特殊的可降阶的高阶微分方程的计算教学难点及突破方法特殊的可降阶的高阶微分方程的计算相关参考资料高等数学（第三册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，教学过程教学思路、主要环节、主要内容可降阶的高阶微分方程:有三种容易降阶的高阶方程： 型的微分方程 （1）方程右端只含x，容易看出，只要把作为新的未知函数，那未（1）式就是新的未知函数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个n-1阶的微分方程 .同理可得 .依此法继续进行，接连积分n次，便得方程(1)的含有n个任意常数的通解。型的微分方程 （2）方程右端不显含未知函数y，如果我们设，那末而方程就成为.这是一个关于变量x, p 的一阶微分方程。设其通解为。但是，因此又得到一个一阶微分方程对它进行积分，便得到方程（2）的通解为。 型的微分方程 (3)方程中不明显地含自变量x。为了求出它的解，我们令y= p ，并利用复合函数的求导法则把化为对y的导数，即.这样，方程（3）就成为。这是一个关于变量y, p 的一阶微分方程。设它的通解为，分离变量并积分，便得方程（3）的通解为。章节第七章微分方程7高阶线性微分方程课时1教学目的掌握高阶线性微分方程的概念、解的理论教学重点及突出方法高阶线性微分方程的概念、解的理论教学难点及突破方法高阶线性微分方程的概念、解的理论相关参考资料高等数学（第三册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，教学过程教学思路、主要环节、主要内容高阶线性微分方程我们以二阶方程为例来说明线性方程解的结构，当然这些结论也适合于高阶线性微分方程。 二阶线性方程的一般形式为 其中y,y,y都是一次的，否则称为二阶非线性方程。线性齐次方程解的结构: 二阶线性齐次方程的形式为： 定理：如果函数均是方程的解，那末也是该方程的解，其中C1,C2为任意常数。 线性齐次方程的这一性质，又称为解的叠和性。 问题：我们所求得的解是不是方程的通解呢？ 一般来说，这是不一定的，那么什么情况下它才是方程的通解呢？为此我们由引出了两个概念：线性相关与线性独立。 定义：设是定义在区间I的两个函数，如果，那末称此两函数在区间I线性相关，否则，即之比不恒等于一个常数，那末称此两函数线性独立或线性无关。 定理：如果是二阶线线性齐次方程的任意两个线性独立的特解，那末就是该方程的通解，其中C1,C2为任意常数。线性非齐次方程解的结构 二阶线性非齐次方程的形式为: 对于一阶线性非齐次方程我们知道，线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程通解之和。那末这个结论对高阶线性非齐次方程适合吗？ 定理：设y是二阶线性非齐次方程的任一特解，Y是与该方程对应的齐次线性方程的通解，那末 y=y+Y 就是方程的通解。 我们为了以后的解题方便，又给出了一个定理，如下： 定理：设有线性非齐次方程.如果分别是方程 与方程 的解，那末就是原方程的解。章节第七章微分方程8 二阶常系数齐次线性微分方程课时2 教学目的掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学重点及突出方法二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学难点及突破方法二阶常系数齐次线性微分方程的解法相关参考资料高等数学（第三册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，教学过程教学思路、主要环节、主要内容二阶常系数齐次线性微分方程在二阶齐次线形微分方程 （1）中，如果 的系数P(x) ，Q(x)均为常数，即（1）式写成为 （2）其中p,q是常数，则称（2）为二阶常系数齐次线形微分方程。如果p,q不全为常数，称（1）为二阶变系数齐次线形微分方程。当r为常数时，指数函数和它的各阶导数都只相差一个常数因子。由于指数函数有这个特点，因此我们用来尝试，看能否选取适当的常数r ，使满足方程（2）。将求导，得到 把和代入方程（2），得由于，所以 （3）由此可见，只要r 满足代数方程（3），函数就是微分方程（2）的解。我们把代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程。下面我们就通过研究特征方程（3）来研究微分方程的解。可得出求二阶常系数齐次线形微分方程 （2）的通解的步骤如下：第一步 写出微分方程（2）的特征方程 （3）第二步 求出特征方程（3）的两个根。第三步 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：特征方程的两个根微分方程的通解两个不等的实根两个相等的实根一对共轭复根章节第七章微分方程9二阶常系数齐次线性微分方程11欧拉方程课时2教学目的掌握二阶常系数齐次线性微分方程解法