求数列极限的方法总结 数学科学学院数学与应用数学 11级电子 张玉龙 陈进进 指导教师 鲁大勇 摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题， 本文通过归纳和总结， 从不同 的方面罗列了它的几种求法。 关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量 极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多 样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。 泰勒公式、 洛必达法则、 黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。 还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了 1.定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设Xn是一个数列,a 是实数,如果对 任意给定的 0,总存在一个正整数 N，当 nN 时,都有 Xn ? a ,我们就称 a 是数列Xn的极限.记为 lim Xn = a . n 例 1: 按定义证明 lim 1 = 0. n n! 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)11/n 1 令 1/n 即可, 存在 N= 立, 1 ,当 nN 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)11/n 成 1 = 0. n n! 2. 利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 1+ a + a2 + L+ an 例 2: 求 lim ,其中 a 1, b N 时 , 有 Xn Yn Zn, 且 lim Xn = lim Zn = a , 则 有 n n lim Yn = a . n 例 3:求 解: 1+ n 的极限. n2 对任意正整数 n,显然有 1 1 + n 2n 2 2 2 = , n n n n 1 2 而 0 , 0 ,由夹逼性定理得 n n 1+ n lim 2 = 0 . n n 4换元法 通过换元将复杂的极限化为简单. an ?1 例 4.求极限lim n ，此时 n a + 2 有 ，令 解：若 5.单调有界原理4. 例 5.证明数列 证： 令 我们用归纳法证明 若 则 则 有极限，并求其极限。 ，易知 递增，且 2. 显然 。 。 中两 故由单调有界原理 收敛，设 ，则在 边取极限得 即 解之得 = 或 =- 明显不合要求，舍去， 从而5.6. 6.先用数学归纳法,再求极限. 1 ? 3 ? 5 ? L ? (2n ? 1) 例 6:求极限 lim n 2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n 1 3 5 2n ? 1 1 解: 0 ? ? ? L ? 2 4 6 2n 2n + 1 1 3 5 2n ? 1 S= ? ? ? L ? 2 4 6 2n 2 4 2n 设 S * = ? ?L? 则有 S S * 3 5 2n + 1 1 S2=S*SS* S * = 2n + 1 = 0 再由夹逼性定理,得 2 n + 1 n 2 n + 1 1 ? 3 ? 5 ? L ? ( 2n ? 1) =0 lim n 2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n sin x 1 7. 7.利用两个重要极限 lim = 1 , lim (1 + ) x = e . x 0 x + x x 2 例 7:求 lim (1 + ) x x + x x x 2 1 解: 原式= lim (1 + ) 2 ? (1 + ) 2 = e ? e = e 2 x + x x 8. 8.利用等价无穷小来求极限 将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限. , lim 例 8:求 lim x+ 而0 S 0) n + n p +1 1p + 2 p + 3 p + L +n p 1 n i 解: lim ( p 0) = lim ( ) p n + n + n n p +1 i =1 n p 设 f ( x ) = x ,则 f (x ) 在0,1内连续, 1 i i ?1 i ?x i = , 取 i = , n n n n i 所以, f ( i ) = ( ) p n 1 1 所以原式= x p dx = 0 p +1 11. 11.级数收敛的必要条件. 2 x sin x . 2 设 u n 等于所求极限的表达式 , 再证 u n 是收敛的, 据必要条件知所求表达式的 n =1 n =1 极限为 0. 例 11:求 lim n + n! nn u 1 1 n! = 1 ,则 lim n +1 = lim n n + u n + 1 e n n =1 n (1 + ) n n n! 所以该级数收敛,所以 lim n =0 n + n 12. 12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数 的恒等变形。 sin 5 x ? sin 3 x 例 12. 求 lim x 0 sin 2 x 解： ? sin 5 x 2 x 5 sin 3 x 2 x 3 ? 5 3 法一：原式= lim ? ? ? ? ? ? = ? =1 x 0 3 x sin 2 x 2 ? 2 2 ? 5 x sin 2 x 2 ? 5 x + 3x 5 x ? 3x 2 cos sin 2 cos 4 x sin x 2 cos 4 x 2 2 法二：原式= lim = lim = lim =1 x 0 x 0 2sin x cos x x 0 2 cos x sin 2 x 13. 13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。 (?1) x 例 13：求 lim x 的值 x 2 ?1 解：奇数列为 lim x =0 x 2 1 偶数列为 lim x =0 x 2 (?1) x 所以 lim x =0 x 2 14. 14利于泰勒展开式求极限。 解:设 u n = 例 14.求 lim(5 x 5 + x 4 ? 5 x 5 ? x 4 ) 1 1 ? 1 1 1 ? 解：原式= lim x ?(1 + ) 5 ? (1 ? ) 5 ? (令 t= ) x + x x x ? ? 1 ? 1 ? 1 + t + o(t ) ? ?1 ? t + o(t )? 1 1 ? 1? 5 ? 5 ?=2 = lim ?(1 + t ) 5 ? (1 ? t ) 5 ? = t +0 t t 5 ? ? 15. 15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量， 无穷小量与无穷大量互为倒数 的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。 1 例 15：求 lim 2 sin x 的值 x x 1 是无穷小量，而 lim sin x 是有界变量，所以 x x 2 x 1 lim 2 sin x 还是无穷小量，即 x x 1 lim 2 sin x =0 x x